Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSilindir

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 10 cm10\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki boş bir kap, yatay bir düzlem üzerine yan yatırılmıştır. Bu kabın içine bir miktar su konulduğunda, suyun üst yüzeyinin alanı 603 cm260\sqrt{3}\text{ cm}^2 olmaktadır. Buna göre, kaptaki suyun hacmi en az kaç cm3\text{cm}^3 olabilir?

  1. 120π−903120\pi - 90\sqrt{3}Cevap
  2. B
    60π−90360\pi - 90\sqrt{3}
  3. C
    240π+903240\pi + 90\sqrt{3}
  4. D
    180π−903180\pi - 90\sqrt{3}
  5. E
    40π−90340\pi - 90\sqrt{3}

Cevap

En az su hacmi 120π−903 cm3120\pi - 90\sqrt{3}\text{ cm}^3 olur.
Kiriş uzunluğu 63 cm6\sqrt{3}\text{ cm} ve merkeze uzaklığı 3 cm3\text{ cm} olan dairesel kesitte, 120∘120^\circ lik dilim alanından (12π12\pi) üçgen alanı (939\sqrt{3}) çıkarılarak kesit alanı bulunur. Bu alan silindir yüksekliğiyle (1010) çarpıldığında en az su hacmi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Su yüzeyinin alanından taban dairesindeki kirişin uzunluğunu bulun.
Kiriş uzunluğu 63 cm6\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Yan yatırılmı�� silindirdeki suyun üst yüzeyi bir dikdörtgendir; bu dikdörtgenin alanı, yükseklik ile tabandaki kiriş uzunluğunun çarpımına eşittir.
2
Kirişin daire merkezine olan dik uzaklığını Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplayın.
Uzaklık d=3 cmd = 3\text{ cm}'dir.
Merkezden kirişe çizilen dikme kirişi ortalar ve yarıçap ile birlikte bir dik üçgen oluşturur.
3
Kirişi gören merkez açıyı belirleyin.
Merkez açı 120∘120^\circ olur.
Oluşan dik üçgende karşı dik kenarın hipotenüse oranı 32\frac{\sqrt{3}}{2} olduğundan, yarım açı 60∘60^\circ ve merkez açı 120∘120^\circ olur.
4
Suyun kapladığı taban dairesi kesitinin alanını daire dilimi ve üçgen alanlarını kullanarak hesaplayın.
Taban kesit alanı 12π−93 cm212\pi - 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 olur.
Suyun hacminin en az olması için su seviyesi merkezden aşağıda olmalıdır; bu kesit alanı, 120∘120^\circ lik dilim alanından üçgen alanının çıkarılmasıyla elde edilir.
5
Kesit alanını silindir yüksekliğiyle çarparak suyun hacmini bulun.
Hacim 120π−903 cm3120\pi - 90\sqrt{3}\text{ cm}^3 olur.
Silindir hacmi, taban alanı (kesit alanı) ile yüksekliğin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Yan yatırılmış silindirlerde su yüzey alanı, kiriş uzunluğu ve dairesel kesit alanı ilişkisi

İpuçları

1
Silindir yan yatırıldığında su yüzeyi bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin alanından yararlanarak taban dairesindeki suyun oluşturduğu kiriş uzunluğunu bulun.
2
Kirişin merkeze olan dik uzaklığını bulmak için taban dairesinin merkezinden kirişe bir dikme indirin ve Pisagor bağıntısını uygulayın.
3
En az su hacmi için su seviyesinin merkezden aşağıda olması gerektiğini unutmayın. Hacmi bulmak için 120∘120^\circ lik daire diliminin alanından üçgenin alanını çıkarıp silindir yüksekliğiyle çarpın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla su yüksekliği bilinen yatay bir silindirde su yüzeyinin alanını sormak veya suyun hacmi verildiğinde su yüksekliğini bulmak gibi ters problem yapıları üzerinde çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin alanını sinüslü alan formülü yerine taban (63 cm6\sqrt{3}\text{ cm}) ve yükseklik (3 cm3\text{ cm}) çarpımının yarısı olan 63⋅32=93 cm2\frac{6\sqrt{3} \cdot 3}{2} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 formülü ile de doğrudan hesaplayabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Silindir

Bu konudan daha fazla soru