Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSilindir

Taban yarıçapı 5 cm5\text{ cm} ve yüksekliği 20π cm20\pi\text{ cm} olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kutunun alt tabanının çevresi üzerindeki bir AA noktasından, üst tabanının çevresi üzerindeki ve AA noktasının dikey izdüşümünün tam karşısında bulunan (çapsal olarak zıt) bir BB noktasına silindirin yan yüzeyi üzerinden dolanarak gidilecektir. Bu hareketli, silindirin yan yüzeyi etrafında tam olarak 1,51,5 tur (bir buçuk tur) atarak en kısa yoldan BB noktasına ulaştığına göre, aldığı toplam yol kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

  1. 2525Cevap
  2. B
    3535
  3. C
    575\sqrt{7}
  4. D
    10510\sqrt{5}
  5. E
    101310\sqrt{13}

Cevap

En kısa yol 25π cm25\pi\text{ cm} olup, toplam yol 2525 adet π cm\pi\text{ cm}'ye eşittir.
Silindirin taban çevresi C=2πR=10π cmC = 2\pi R = 10\pi\text{ cm}'dir. 1,51,5 tur atıldığında yatayda alınan yol 1,5×10π=15π cm1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm} olur. Silindirin açınımı yapıldığında yatay kenarı 15π cm15\pi\text{ cm} ve dikey kenarı (yükseklik) 20π cm20\pi\text{ cm} olan bir dik üçgen elde edilir. Bu üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında en kısa yol 25π cm25\pi\text{ cm} olarak hesaplanır. Dolayısıyla alınan toplam yol 25π25\pi yani 2525 katıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin taban dairesinin çevresi hesaplanır.
Taban dairesinin yarıçapı R=5 cmR = 5\text{ cm} olduğundan çevre C=2πR=10π cmC = 2\pi R = 10\pi\text{ cm} olur.
Silindir yüzeyinde yatayda alınan yol taban çevresine bağlıdır.
2
Hareketlinin yatayda aldığı toplam yol belirlenir.
Hareketli 1,51,5 tur attığı için yatayda aldığı yol 1,5×10π=15π cm1,5 \times 10\pi = 15\pi\text{ cm} olarak bulunur.
BB noktası AA'nın dikey izdüşümünün tam karşısında (çapsal olarak zıt konumda) olduğundan, 1,51,5 tur atılması yatayda tam olarak 1,51,5 çevre uzunluğuna karşılık gelir.
3
Hareketlinin dikeyde aldığı yol belirlenir.
Dikeyde alınan yol silindirin yüksekliği olan 20π cm20\pi\text{ cm}'dir.
Kutunun alt tabanından üst tabanına ulaşıldığı için dikey yükseklik tamamen katedilmiştir.
4
Silindirin yan yüzeyi düzleme açılarak en kısa yol Pisagor bağıntısı ile hesaplanır.
En kısa yol LL olmak üzere, dik kenarları 15π cm15\pi\text{ cm} ve 20π cm20\pi\text{ cm} olan bir dik üçgen olu��ur. Pisagor bağıntısından L2=(15π)2+(20π)2=225π2+400π2=625π2L^2 = (15\pi)^2 + (20\pi)^2 = 225\pi^2 + 400\pi^2 = 625\pi^2 buradan da L=25π cmL = 25\pi\text{ cm} bulunur.
Düzleme açılan yüzeyde iki nokta arasındaki en kısa mesafe, bu iki noktayı birleştiren doğru parçası (hipotenüs) uzunluğudur.

Anahtar Kavram

Silindirin yan yüzeyinin açınımı ve yüzey üzerindeki en kısa yolun Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Silindir

Bu konudan daha fazla soru