Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir belediyeye ait spor tesisinde halı saha, tenis kortu ve basketbol sahasının saatlik kiralama ücretleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Tenis kortunun saatlik kiralama ücreti, basketbol sahasının saatlik kiralama ücretinin 2 katından 40 TL eksiktir.
- Halı sahanın saatlik kiralama ücreti, tenis kortunun saatlik kiralama ücretinin 1,5 katıdır.
- Bu tesiste bir gün içinde toplam 24 saatlik kiralama yapılm��ş olup bu kiralamaların bir kısmı basketbol sahası, kalan kısmı ise eşit saatlerde tenis kortu ve halı saha için gerçekleştirilmiştir.
Yapılan toplam kiralama bedeli 4440 TL olduğuna göre, basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti kaç TL'dir? (Kiralama ücretleri birer tam sayıdır.)

  1. A
    90
  2. B
    100
  3. C
    110
  4. 120Cevap
  5. E
    130

Cevap

Basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti 120 TL'dir.
Basketbol sahasının saatlik ücretine xx denilerek kurulan denklemde tenis kortunun saatlik ücreti 2x−402x-40, halı sahanın saatlik ücreti ise 3x−603x-60 olarak belirlenir. Tenis ve halı sahaların kiralama süreleri eşit (tt) seçildiğinde, basketbol sahasının kiralama süresi 24−2t24-2t olur. Toplam ücreti veren denklem sadeleştirildiğinde 3x(8+t)=4440+100t3x(8+t) = 4440 + 100t bağıntısı elde edilir. Ücretlerin tam sayı çıkmasını sağlayan ve kiralama süresi sınırlarına uyan tek tt değeri 6 olup, bu değer yerine yazıldığında basketbol sahasının saatlik kiralama ücreti 120 TL olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Basketbol sahasının saatlik kiralama ücretini xx değişkeni ile tanımlayalım ve diğer kiralama ücretlerini xx cinsinden yazalım.
Tenis kortunun saatlik kiralama ücreti 2x−402x - 40 TL olur. Halı sahanın saatlik kiralama ücreti ise 1,5(2x−40)=3x−601,5(2x - 40) = 3x - 60 TL olarak bulunur.
Tüm kiralama ücretlerini tek bir değişken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.
2
Kiralama sürelerini paylaştıralım. Tenis kortu ve halı sahanın kiralama süreleri eşit olup her birine tt saat diyelim. Kalan süreyi basketbol sahasına atayarak toplam ücret denklemini kuralım.
Basketbol sahasının kiralama süresi 24−2t24 - 2t saat olur. Toplam ücret denklemi: (24−2t)x+t(2x−40)+t(3x−60)=4440(24 - 2t)x + t(2x - 40) + t(3x - 60) = 4440 şeklinde kurulur.
Kiralama sürelerinin toplamının 24 saat olması ve toplam ücretin 4440 TL olması bilgilerini bir araya getirmek.
3
Elde edilen denklemi parantezleri dağıtarak sadeleştirelim ve xx değişkenini yalnız bırakalım.
24x−2tx+2tx−40t+3tx−60t=4440  ⟹  24x+3tx−100t=4440  ⟹  3x(8+t)=4440+100t  ⟹  x=4440+100t3(8+t)24x - 2tx + 2tx - 40t + 3tx - 60t = 4440 \implies 24x + 3tx - 100t = 4440 \implies 3x(8+t) = 4440 + 100t \implies x = \frac{4440 + 100t}{3(8+t)} elde edilir.
xx ücretini tt süresine bağlı bir rasyonel ifade olarak çözümlemek.
4
Ücretlerin ve sürelerin tam sayı olması koşulunu kullanarak tt ve xx değerlerini belirleyelim.
xx bir tam sayı olduğundan, 4440+100t4440 + 100t ifadesi 3'ün katı olmalıdır. 44404440 zaten 3'ün katı olduğu için 100t100t de 3'ün katı, yani tt sayısı 3'ün katı olmalıdır. Pozitif kiralama süreleri için 2t<24  ⟹  t<122t < 24 \implies t < 12 olmalıdır. Dolayısıyla t∈{3,6,9}t \in \{3, 6, 9\} olabilir.
- t=3t = 3 için: x=474033x = \frac{4740}{33} (tam sayı değil)
- t=6t = 6 için: x=504042=120x = \frac{5040}{42} = 120 TL (tam sayı)
- t=9t = 9 için: x=534051x = \frac{5340}{51} (tam sayı değil)
Buna göre x=120x = 120 TL bulunur.
Tam sayı kısıtlamaları altındaki tek geçerli çözümü tespit etmek.

Anahtar Kavram

Bilinmeyenler ve kısıtlamalar içeren sözel problemleri denklemlere aktarma ve tam sayı değer kısıtları altında çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru