Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKare

Bir ABCDABCD karesinin [AC][AC] köşegen doğrusu üzerinde, CC noktası AA ile EE arasında olacak şekilde bir EE noktası alınıyor.

∣CE∣=7 cm|CE| = 7\text{ cm} ve ∣BE∣=13 cm|BE| = 13\text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevap: 50 cm^2

Cevap

ABCD karesinin alanı 50'dir.
Karenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması kuralına göre köşegenlerin kesim noktası olan O noktası için OB ile AC dik kesişir ve |OB| = |OC| = x olur. C noktası A ile E arasında olduğundan, O, C, E doğrusaldır ve |OE| = x + 7 olur. OBE dik üçgeninde uygulanan Pisagor bağıntısıyla x^2 + (x+7)^2 = 13^2 denkleminden x = 5 bulunur. Köşegenin yarısı 5 olan karenin alanı ise 2 * x^2 = 50 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegenlerin kesim noktasını belirleme ve dikliği gösterme
ACAC ve BDBD köşegenlerinin kesim noktasına OO dersek, OB⊥OEOB \perp OE olur.
Karede köşegenler birbirini dik keser.
2
Köşegen parçalarını harflendirme ve uzunlukları yazma
∣OB∣=∣OC∣=x|OB| = |OC| = x olsun. Bu durumda ∣OE∣=x+7|OE| = x + 7 olur.
Karede köşegenler birbirini ortalar ve tüm köşegen yarı parçaları eşittir.
3
Pisagor bağıntısını kurma ve denklemi çözme
x2+(x+7)2=132  ⟹  x2+x2+14x+49=169  ⟹  2x2+14x−120=0  ⟹  x2+7x−60=0  ⟹  (x−5)(x+12)=0x^2 + (x+7)^2 = 13^2 \implies x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \implies 2x^2 + 14x - 120 = 0 \implies x^2 + 7x - 60 = 0 \implies (x-5)(x+12) = 0. Buradan x=5x = 5 bulunur.
Uzunluk değeri negatif olamayacağından x=5x = 5 alınır.
4
Karenin alanını hesaplama
Alan (ABCD)=2x2=2×52=50 cm2(ABCD) = 2x^2 = 2 \times 5^2 = 50\text{ cm}^2 olur.
Köşegen uzunluğunun yarısı xx olan bir karenin alanı 2x22x^2 formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması ve dik üçgende Pisagor teoremi
Bu soruyu puanla

Konular

Kare

Bu konudan daha fazla soru