Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKare

Bir ABCDABCD karesinin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için ∣PA∣=1 cm|PA| = 1\text{ cm}, ∣PB∣=5 cm|PB| = 5\text{ cm} ve ∣PC∣=7 cm|PC| = 7\text{ cm} olduğu bilinmektedir. Buna göre, ABCDABCD karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

  1. A
    18
  2. B
    25
  3. 32Cevap
  4. D
    36
  5. E
    50

Cevap

Karenin alanı 32 santimetrekaredir.
İngiliz Bayrağı Teoremi kullanılarak PP noktasının DD köşesine olan uzaklığı ∣PD∣=5 cm|PD| = 5\text{ cm} olarak bulunur. ∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliği, PP noktasının [BD][BD] köşegeninin orta dikme doğrusu olan [AC][AC] köşegeni üzerinde yer aldığını gösterir. PP noktası karenin içinde olduğundan, köşegen uzunluğu ∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣=1+7=8 cm|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm} olur. Buradan karenin alanı 822=32 cm2\frac{8^2}{2} = 32\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kare içerisindeki bir PP noktası için geçerli olan İngiliz Bayrağı Teoremi'ni (PA2+PC2=PB2+PD2PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2) uygulayarak PP noktasının DD köşesine olan uzaklığını hesaplayın.
12+72=52+∣PD∣2  ⟹  1+49=25+∣PD∣2  ⟹  50=25+∣PD∣2  ⟹  ∣PD∣2=25  ⟹  ∣PD∣=5 cm1^2 + 7^2 = 5^2 + |PD|^2 \implies 1 + 49 = 25 + |PD|^2 \implies 50 = 25 + |PD|^2 \implies |PD|^2 = 25 \implies |PD| = 5\text{ cm} elde edilir.
Karenin içindeki herhangi bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı eşittir.
2
∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliğinden yararlanarak PP noktasının karenin köşegenleri üzerindeki konumunu belirleyin.
PP noktası, [BD][BD] doğru parçasının orta dikme doğrusu ��zerinde yer almalıdır. Karenin köşegenleri birbirini dik ortaladığı için bu orta dikme doğrusu [AC][AC] köşegenidir. Dolayısıyla PP noktası [AC][AC] köşegeni üzerindedir.
Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktalar, o doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde bulunur.
3
PP noktası karenin iç bölgesinde ve [AC][AC] köşegeni üzerinde olduğundan, A,P,CA, P, C noktalarının doğrusallığını kullanarak [AC][AC] köşegeninin toplam uzunluğunu bulun.
∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣=1+7=8 cm|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm} olarak bulunur.
PP noktası [AC][AC] köşegeninin üzerinde ve karenin içinde yer aldığı için sırasıyla AA, PP ve CC noktaları aynı doğru üzerindedir.
4
Köşegen uzunluğu bilinen karenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.
Alan(ABCD)=∣AC∣22=822=642=32 cm2\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AC|^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2 bulunur.
Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması, köşegen uzunluğu ile alan ilişkisi ve karenin içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklık bağıntıları.

İpuçları

1
Karenin içindeki bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamının eşit olduğunu hatırlayın (PA2+PC2=PB2+PD2PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2).
2
∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliğini bulduktan sonra, bir doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini düşünün. Bu durum PP noktasının hangi özel çizgi üzerinde olduğunu söyler?
3
PP noktasının [AC][AC] köşegeni üzerinde olduğunu gördükten sonra köşegen uzunluğunu ∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣|AC| = |PA| + |PC| şeklinde yazıp alanı köşegenin karesinin yarısı formülüyle bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantığı kullanarak, kare içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklıkları verildiğinde rotation (döndürme) yöntemiyle diğer açı veya uzunluk bağıntılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

△APB\triangle APB üçgenini BB köşesi etrafında saat yönünde 90∘90^\circ döndürerek [BC][BC] kenarı üzerinde yeni bir △CP′B\triangle CP'B üçgeni oluşturabiliriz. Döndürme sonucunda ∣BP′∣=∣BP∣=5 cm|BP'| = |BP| = 5\text{ cm}, ∣CP′∣=∣PA∣=1 cm|CP'| = |PA| = 1\text{ cm} ve m(PBP′^)=90∘m(\widehat{PBP'}) = 90^\circ olur. İkizkenar dik üçgen olan △PBP′\triangle PBP' üçgeninde ∣PP′∣2=52+52=50|PP'|^2 = 5^2 + 5^2 = 50 elde edilir. △PCP′\triangle PCP' üçgeninde kenar uzunlukları ∣CP′∣=1 cm|CP'| = 1\text{ cm} ve ∣PC∣=7 cm|PC| = 7\text{ cm} olup, 12+72=50=∣PP′∣21^2 + 7^2 = 50 = |PP'|^2 sağlandığından Pisagor teoreminin tersi gereği m(PCP′^)=90∘m(\widehat{PCP'}) = 90^\circ olur. Döndürme özelliğinden dolayı m(BCP′^)=m(BAP^)m(\widehat{BCP'}) = m(\widehat{BAP}) ve m(PCP′^)=m(PCB^)+m(BCP′^)=90∘m(\widehat{PCP'}) = m(\widehat{PCB}) + m(\widehat{BCP'}) = 90^\circ olduğundan m(PCB^)=45∘m(\widehat{PCB}) = 45^\circ bulunur. △BCP\triangle BCP üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa karenin kenarı ss için; 52=s2+72−2⋅s⋅7⋅cos⁡(45∘)5^2 = s^2 + 7^2 - 2 \cdot s \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde karenin alanı s2=32 cm2s^2 = 32\text{ cm}^2 veya s2=18 cm2s^2 = 18\text{ cm}^2 bulunur. s2=18 cm2s^2 = 18\text{ cm}^2 durumunda PP noktası karenin dışında kalacağı için doğru cevap 32 cm232\text{ cm}^2 olur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kare

Bu konudan daha fazla soru