Examkin

Kare

6 soru

Tüm türler6Çoktan seçmeli2Sayısal4
Soru 1Soru →

Bir ABCDABCD karesinin [AC][AC] köşegen doğrusu üzerinde, CC noktası AA ile EE arasında olacak şekilde bir EE noktası alınıyor.

∣CE∣=7 cm|CE| = 7\text{ cm} ve ∣BE∣=13 cm|BE| = 13\text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

ABCD karesinin alanı 50'dir.
Karenin köşegenlerinin birbirini dik ortalaması kuralına göre köşegenlerin kesim noktası olan O noktası için OB ile AC dik kesişir ve |OB| = |OC| = x olur. C noktası A ile E arasında olduğundan, O, C, E doğrusaldır ve |OE| = x + 7 olur. OBE dik üçgeninde uygulanan Pisagor bağıntısıyla x^2 + (x+7)^2 = 13^2 denkleminden x = 5 bulunur. Köşegenin yarısı 5 olan karenin alanı ise 2 * x^2 = 50 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegenlerin kesim noktasını belirleme ve dikliği gösterme
ACAC ve BDBD köşegenlerinin kesim noktasına OO dersek, OB⊥OEOB \perp OE olur.
Karede köşegenler birbirini dik keser.
2
Köşegen parçalarını harflendirme ve uzunlukları yazma
∣OB∣=∣OC∣=x|OB| = |OC| = x olsun. Bu durumda ∣OE∣=x+7|OE| = x + 7 olur.
Karede köşegenler birbirini ortalar ve tüm köşegen yarı parçaları eşittir.
3
Pisagor bağıntısını kurma ve denklemi çözme
x2+(x+7)2=132  ⟹  x2+x2+14x+49=169  ⟹  2x2+14x−120=0  ⟹  x2+7x−60=0  ⟹  (x−5)(x+12)=0x^2 + (x+7)^2 = 13^2 \implies x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \implies 2x^2 + 14x - 120 = 0 \implies x^2 + 7x - 60 = 0 \implies (x-5)(x+12) = 0. Buradan x=5x = 5 bulunur.
Uzunluk değeri negatif olamayacağından x=5x = 5 alınır.
4
Karenin alanını hesaplama
Alan (ABCD)=2x2=2×52=50 cm2(ABCD) = 2x^2 = 2 \times 5^2 = 50\text{ cm}^2 olur.
Köşegen uzunluğunun yarısı xx olan bir karenin alanı 2x22x^2 formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması ve dik üçgende Pisagor teoremi
Soru 2Soru →

Bir ABCDABCD karesinin iç bölgesinde alınan bir PP noktası için ∣PA∣=1 cm|PA| = 1\text{ cm}, ∣PB∣=5 cm|PB| = 5\text{ cm} ve ∣PC∣=7 cm|PC| = 7\text{ cm} olduğu bilinmektedir. Buna göre, ABCDABCD karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Karenin alanı 32 santimetrekaredir.
İngiliz Bayrağı Teoremi kullanılarak PP noktasının DD köşesine olan uzaklığı ∣PD∣=5 cm|PD| = 5\text{ cm} olarak bulunur. ∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliği, PP noktasının [BD][BD] köşegeninin orta dikme doğrusu olan [AC][AC] köşegeni üzerinde yer aldığını gösterir. PP noktası karenin içinde olduğundan, köşegen uzunluğu ∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣=1+7=8 cm|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm} olur. Buradan karenin alanı 822=32 cm2\frac{8^2}{2} = 32\text{ cm}^2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kare içerisindeki bir PP noktası için geçerli olan İngiliz Bayrağı Teoremi'ni (PA2+PC2=PB2+PD2PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2) uygulayarak PP noktasının DD köşesine olan uzaklığını hesaplayın.
12+72=52+∣PD∣2  ⟹  1+49=25+∣PD∣2  ⟹  50=25+∣PD∣2  ⟹  ∣PD∣2=25  ⟹  ∣PD∣=5 cm1^2 + 7^2 = 5^2 + |PD|^2 \implies 1 + 49 = 25 + |PD|^2 \implies 50 = 25 + |PD|^2 \implies |PD|^2 = 25 \implies |PD| = 5\text{ cm} elde edilir.
Karenin içindeki herhangi bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamı eşittir.
2
∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliğinden yararlanarak PP noktasının karenin köşegenleri üzerindeki konumunu belirleyin.
PP noktası, [BD][BD] doğru parçasının orta dikme doğrusu ��zerinde yer almalıdır. Karenin köşegenleri birbirini dik ortaladığı için bu orta dikme doğrusu [AC][AC] köşegenidir. Dolayısıyla PP noktası [AC][AC] köşegeni üzerindedir.
Bir doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktalar, o doğru parçasının orta dikme doğrusu üzerinde bulunur.
3
PP noktası karenin iç bölgesinde ve [AC][AC] köşegeni üzerinde olduğundan, A,P,CA, P, C noktalarının doğrusallığını kullanarak [AC][AC] köşegeninin toplam uzunluğunu bulun.
∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣=1+7=8 cm|AC| = |PA| + |PC| = 1 + 7 = 8\text{ cm} olarak bulunur.
PP noktası [AC][AC] köşegeninin üzerinde ve karenin içinde yer aldığı için sırasıyla AA, PP ve CC noktaları aynı doğru üzerindedir.
4
Köşegen uzunluğu bilinen karenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplayın.
Alan(ABCD)=∣AC∣22=822=642=32 cm2\text{Alan}(ABCD) = \frac{|AC|^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2 bulunur.
Bir karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

Anahtar Kavram

Karede köşegenlerin birbirini dik ortalaması, köşegen uzunluğu ile alan ilişkisi ve karenin içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklık bağıntıları.

İpuçları

1
Karenin içindeki bir noktanın karşılıklı köşelere olan uzaklıklarının kareleri toplamının eşit olduğunu hatırlayın (PA2+PC2=PB2+PD2PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2).
2
∣PB∣=∣PD∣=5 cm|PB| = |PD| = 5\text{ cm} eşitliğini bulduktan sonra, bir doğru parçasının uçlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini düşünün. Bu durum PP noktasının hangi özel çizgi üzerinde olduğunu söyler?
3
PP noktasının [AC][AC] köşegeni üzerinde olduğunu gördükten sonra köşegen uzunluğunu ∣AC∣=∣PA∣+∣PC∣|AC| = |PA| + |PC| şeklinde yazıp alanı köşegenin karesinin yarısı formülüyle bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantığı kullanarak, kare içindeki bir noktanın köşelere olan uzaklıkları verildiğinde rotation (döndürme) yöntemiyle diğer açı veya uzunluk bağıntılarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

△APB\triangle APB üçgenini BB köşesi etrafında saat yönünde 90∘90^\circ döndürerek [BC][BC] kenarı üzerinde yeni bir △CP′B\triangle CP'B üçgeni oluşturabiliriz. Döndürme sonucunda ∣BP′∣=∣BP∣=5 cm|BP'| = |BP| = 5\text{ cm}, ∣CP′∣=∣PA∣=1 cm|CP'| = |PA| = 1\text{ cm} ve m(PBP′^)=90∘m(\widehat{PBP'}) = 90^\circ olur. İkizkenar dik üçgen olan △PBP′\triangle PBP' üçgeninde ∣PP′∣2=52+52=50|PP'|^2 = 5^2 + 5^2 = 50 elde edilir. △PCP′\triangle PCP' üçgeninde kenar uzunlukları ∣CP′∣=1 cm|CP'| = 1\text{ cm} ve ∣PC∣=7 cm|PC| = 7\text{ cm} olup, 12+72=50=∣PP′∣21^2 + 7^2 = 50 = |PP'|^2 sağlandığından Pisagor teoreminin tersi gereği m(PCP′^)=90∘m(\widehat{PCP'}) = 90^\circ olur. Döndürme özelliğinden dolayı m(BCP′^)=m(BAP^)m(\widehat{BCP'}) = m(\widehat{BAP}) ve m(PCP′^)=m(PCB^)+m(BCP′^)=90∘m(\widehat{PCP'}) = m(\widehat{PCB}) + m(\widehat{BCP'}) = 90^\circ olduğundan m(PCB^)=45∘m(\widehat{PCB}) = 45^\circ bulunur. △BCP\triangle BCP üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulanırsa karenin kenarı ss için; 52=s2+72−2⋅s⋅7⋅cos⁡(45∘)5^2 = s^2 + 7^2 - 2 \cdot s \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ) denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde karenin alanı s2=32 cm2s^2 = 32\text{ cm}^2 veya s2=18 cm2s^2 = 18\text{ cm}^2 bulunur. s2=18 cm2s^2 = 18\text{ cm}^2 durumunda PP noktası karenin dışında kalacağı için doğru cevap 32 cm232\text{ cm}^2 olur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Bir çemberin içine çizilen ABCDABCD karesinin bir kenar uzunluğu 20 cm20\text{ cm}'dir. Bu çemberin, karenin dışında kalan dört dairesel bölgesinden birinin içine; iki köşesi çember yayı üzerinde, diğer iki köşesi ise karenin bir kenarı üzerinde olacak şekilde bir KLMNKLMN karesi yerleştiriliyor. Buna göre, KLMNKLMN karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Küçük karenin alanı 16 cm216\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Küçük karenin köşelerinin koordinatları analitik düzlemde ifade edilip çember denkleminde yerine yazıldığında, karenin kenar uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olarak elde edilir ve alanı 16 cm216\text{ cm}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin köşegenlerinin kesişim noktasını orijin (0,0)(0,0) olarak seçip çemberin yarıçapını hesaplama.
ABCDABCD karesinin bir kenarı 20 cm20\text{ cm} ise köşegen uzunluğu 202 cm20\sqrt{2}\text{ cm} olur. Çember karenin köşelerinden geçtiği için yarıçapı R=102 cmR = 10\sqrt{2}\text{ cm} bulunur.
Çemberin denklemini oluşturabilmek için merkezini ve yarıçapını belirlememiz gerekir.
2
Çemberin denklemini yazma.
Merkezil çemberin denklemi x2+y2=R2  ⟹  x2+y2=200x^2 + y^2 = R^2 \implies x^2 + y^2 = 200 şeklindedir.
Çember üzerindeki noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi kurmak için çember denklemi gereklidir.
3
KLMNKLMN karesinin köşelerinin koordinatlarını tanımlama.
Karenin üst kenarı y=10y = 10 doğrusu üzerindedir. KLMNKLMN karesinin kenar uzunluğuna ss dersek, y=10y = 10 doğrusu üzerindeki köşeleri N(−s/2,10)N(-s/2, 10) ve M(s/2,10)M(s/2, 10), çember üzerindeki köşeleri ise K(−s/2,10+s)K(-s/2, 10+s) ve L(s/2,10+s)L(s/2, 10+s) olur.
Geometrik şekli analitik düzleme aktararak cebirsel olarak çözebilmek için köşe koordinatlarını belirleriz.
4
L noktasını çember denkleminde yerine koyarak s değerini veren denklemi oluşturma.
(s2)2+(10+s)2=200  ⟹  s24+100+20s+s2=200  ⟹  5s2+80s−400=0  ⟹  s2+16s−80=0\left(\frac{s}{2}\right)^2 + (10+s)^2 = 200 \implies \frac{s^2}{4} + 100 + 20s + s^2 = 200 \implies 5s^2 + 80s - 400 = 0 \implies s^2 + 16s - 80 = 0 elde edilir.
L noktası çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlamak zorundadır.
5
İkinci derece denklemi çözerek kenar uzunluğunu ve alanı bulma.
(s+20)(s−4)=0  ⟹  s=4 cm(s+20)(s-4) = 0 \implies s = 4\text{ cm} (s>0s > 0 olmalıdır). Buradan alan s2=42=16 cm2s^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 bulunur.
Karenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kökü seçip alan formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Bir karenin köşegen özellikleri yardımıyla çevreleyen çemberin yarıçapını bulma ve çember denklemi kullanarak analitik çözüm yapma.
Soru 4Soru →

Bir ABCDABCD karesinin çevresi 40 cm40\text{ cm}'dir. Bu karenin köşegenlerinin kesim noktasının, karenin herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Karenin köşegenlerinin kesim noktasının herhangi bir kenarına olan en kısa uzaklığı 5 cm5\text{ cm}'dir.
Çevresi 40 cm40\text{ cm} olan bir karenin bir kenar uzunluğu 10 cm10\text{ cm}'dir. Karenin köşegenlerinin kesim noktası ağırlık merkezidir ve bu noktanın kenarlara olan en kısa uzaklığı, kenar uzunluğunun yarısı olan 5 cm5\text{ cm}'ye eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin bir kenar uzunluğunu hesaplayın.
Karenin bir kenar uzunluğu 10 cm10\text{ cm} olarak bulunur.
Bir karenin tüm kenar uzunlukları eşittir ve çevre uzunluğu bir kenarının 4 katına eşittir (a=C¸evre4a = \frac{\text{Çevre}}{4}).
2
Köşegenlerin kesim noktasının kenarlara olan en kısa uzaklığını bulun.
En kısa uzaklık 5 cm5\text{ cm} olarak hesaplanır.
Köşegenlerin kesim noktası karenin tam ortasındadır (ağırlık merkezi). Bu noktadan herhangi bir kenara çizilen en kısa doğru parçası kenara diktir ve uzunluğu kenar uzunluğunun yarısı kadardır (d=a2d = \frac{a}{2}).

Anahtar Kavram

Karenin çevre-kenar ilişkisi ve köşegen kesim noktasının (ağırlık merkezinin) kenarlara olan dik uzaklığı.
Soru 5Soru →

Bir ABCDABCD karesinin [BD][BD] köşegeni üzerinde bir EE noktası işaretleniyor.

∣DE∣=32 cm|DE| = 3\sqrt{2}\text{ cm} ve ∣EB∣=52 cm|EB| = 5\sqrt{2}\text{ cm}

olduğuna göre, ABCDABCD karesinin alanı kaç santimetrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Karenin alanı 64 santimetrekaredir.
Köşegen uzunluğu 82 cm8\sqrt{2}\text{ cm} olarak bulunan karenin bir kenar uzunluğu, köşegen uzunluğunun 2\sqrt{2}'ye bölünmesiyle 8 cm8\text{ cm} bulunur. Kenar uzunluğu 8 cm8\text{ cm} olan karenin alanı ise 82=64 cm28^2 = 64\text{ cm}^2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen uzunluğunu hesaplayınız.
∣BD∣=32+52=82 cm|BD| = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}
[BD][BD] köşegeni, üzerindeki EE noktası ile iki parçaya ayrılmıştır. Toplam köşegen uzunluğu bu iki parçanın uzunlukları toplamına eşittir.
2
Karenin bir kenar uzunluğunu bulunuz.
a=8 cma = 8\text{ cm}
Bir kenar uzunluğu aa olan bir karenin köşegen uzunluğu a2a\sqrt{2}'dir. a2=82a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} eşitliğinden karenin bir kenarı a=8 cma = 8\text{ cm} olarak bulunur.
3
Karenin alanını hesaplayınız.
Alan=82=64 cm2\text{Alan} = 8^2 = 64\text{ cm}^2
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesi alınarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Karede köşegen uzunluğu ile kenar uzunluğu arasındaki ilişki (d=a2d = a\sqrt{2}) ve karenin alanı (A=a2A = a^2).

İpuçları

1
Köşegen üzerindeki parçaların uzunluklarını toplayarak tüm köşegenin uzunluğunu elde edin.
2
Karenin bir kenar uzunluğu aa ise köşegeninin a2a\sqrt{2} olduğunu hatırlayın.
3
Köşegen uzunluğu 82 cm8\sqrt{2}\text{ cm} ise karenin bir kenarı 8 cm8\text{ cm}'dir. Bu kenar uzunluğunun karesini alarak alana ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Köşegen uzunluğu verilen bir karenin çevresini bulmaya yönelik benzer alıştırmalar yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Karenin alanı, köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir: Alan=d22\text{Alan} = \frac{d^2}{2}. Köşegen uzunluğu d=82 cmd = 8\sqrt{2}\text{ cm} olduğundan, Alan=(82)22=1282=64 cm2\text{Alan} = \frac{(8\sqrt{2})^2}{2} = \frac{128}{2} = 64\text{ cm}^2 bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →

Bir kenar uzunluğu 12 cm12\text{ cm} olan ABCDABCD karesinin içine, karenin tüm kenarlarına teğet olacak şekilde bir çember çiziliyor. [AD][AD] kenarı üzerinde, AA köşesine olan uzaklığı 3 cm3\text{ cm} olan bir PP noktası belirleniyor. PP noktasından bu çembere çizilen diğer teğet doğrusu, [AB][AB] kenarını QQ noktasında kesiyor. Buna göre, QQ noktasının AA köşesine olan uzaklığı (∣AQ∣|AQ|) kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Q noktasının A köşesine olan uzaklığı 4 cm'dir.
Çemberin kareye teğet olma özelliklerinden yararlanarak ∣PT∣=3 cm|PT| = 3\text{ cm} ve ∣QT∣=6−y|QT| = 6 - y (burada ∣AQ∣=y|AQ| = y) bulunur. APQAPQ dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulandığında (9−y)2=32+y2(9-y)^2 = 3^2 + y^2 denklemi elde edilir ve buradan y=4y = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin yarıçapını ve kenarlardaki teğet noktalarını belirleme
Yarıçap 6 cm6\text{ cm} olup [AD][AD] ve [AB][AB] kenarlarındaki teğet noktaları MM ve NN kenar orta noktalarıdır (∣AM∣=∣AN∣=6 cm|AM| = |AN| = 6\text{ cm}).
Çember kareye teğet olduğundan teğet noktaları kenarların tam ortasındadır.
2
P noktasından çizilen teğet uzunluğunu hesaplama
∣PM∣=3 cm|PM| = 3\text{ cm} ve dolayısıyla ∣PT∣=3 cm|PT| = 3\text{ cm}'dir.
Bir noktadan çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir (∣PT∣=∣PM∣|PT| = |PM|).
3
Q noktasından çizilen teğet uzunluğunu ifade etme ve PQ uzunluğunu bulma
∣AQ∣=y|AQ| = y için ∣QT∣=6−y|QT| = 6 - y ve ∣PQ∣=9−y|PQ| = 9 - y olur.
Teğet parçalarının eşitliğinden ∣QT∣=∣QN∣=6−y|QT| = |QN| = 6 - y olur ve PQPQ uzunluğu bu iki teğet parçasının toplamıdır.
4
APQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak y değerini bulma
y=4 cmy = 4\text{ cm} olarak bulunur.
AA köşesi dik açı olduğundan APQAPQ dik üçgeninde ∣PQ∣2=∣AP∣2+∣AQ∣2|PQ|^2 = |AP|^2 + |AQ|^2 bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet uzunluklarının eşitliği ve dik üçgende Pisagor teoreminin kare içerisinde uygulanması.
Kare Alıştırma Soruları — ALES | Examkin