Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKare

Bir çemberin içine çizilen ABCDABCD karesinin bir kenar uzunluğu 20 cm20\text{ cm}'dir. Bu çemberin, karenin dışında kalan dört dairesel bölgesinden birinin içine; iki köşesi çember yayı üzerinde, diğer iki köşesi ise karenin bir kenarı üzerinde olacak şekilde bir KLMNKLMN karesi yerleştiriliyor. Buna göre, KLMNKLMN karesinin alanı kaç cm2\text{cm}^2 dir?

Cevap: 16 cm^2

Cevap

Küçük karenin alanı 16 cm216\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Küçük karenin köşelerinin koordinatları analitik düzlemde ifade edilip çember denkleminde yerine yazıldığında, karenin kenar uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olarak elde edilir ve alanı 16 cm216\text{ cm}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin köşegenlerinin kesişim noktasını orijin (0,0)(0,0) olarak seçip çemberin yarıçapını hesaplama.
ABCDABCD karesinin bir kenarı 20 cm20\text{ cm} ise köşegen uzunluğu 202 cm20\sqrt{2}\text{ cm} olur. Çember karenin köşelerinden geçtiği için yarıçapı R=102 cmR = 10\sqrt{2}\text{ cm} bulunur.
Çemberin denklemini oluşturabilmek için merkezini ve yarıçapını belirlememiz gerekir.
2
Çemberin denklemini yazma.
Merkezil çemberin denklemi x2+y2=R2  ⟹  x2+y2=200x^2 + y^2 = R^2 \implies x^2 + y^2 = 200 şeklindedir.
Çember üzerindeki noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi kurmak için çember denklemi gereklidir.
3
KLMNKLMN karesinin köşelerinin koordinatlarını tanımlama.
Karenin üst kenarı y=10y = 10 doğrusu üzerindedir. KLMNKLMN karesinin kenar uzunluğuna ss dersek, y=10y = 10 doğrusu üzerindeki köşeleri N(−s/2,10)N(-s/2, 10) ve M(s/2,10)M(s/2, 10), çember üzerindeki köşeleri ise K(−s/2,10+s)K(-s/2, 10+s) ve L(s/2,10+s)L(s/2, 10+s) olur.
Geometrik şekli analitik düzleme aktararak cebirsel olarak çözebilmek için köşe koordinatlarını belirleriz.
4
L noktasını çember denkleminde yerine koyarak s değerini veren denklemi oluşturma.
(s2)2+(10+s)2=200  ⟹  s24+100+20s+s2=200  ⟹  5s2+80s−400=0  ⟹  s2+16s−80=0\left(\frac{s}{2}\right)^2 + (10+s)^2 = 200 \implies \frac{s^2}{4} + 100 + 20s + s^2 = 200 \implies 5s^2 + 80s - 400 = 0 \implies s^2 + 16s - 80 = 0 elde edilir.
L noktası çember üzerinde olduğundan koordinatları çember denklemini sağlamak zorundadır.
5
İkinci derece denklemi çözerek kenar uzunluğunu ve alanı bulma.
(s+20)(s−4)=0  ⟹  s=4 cm(s+20)(s-4) = 0 \implies s = 4\text{ cm} (s>0s > 0 olmalıdır). Buradan alan s2=42=16 cm2s^2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2 bulunur.
Karenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kökü seçip alan formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Bir karenin köşegen özellikleri yardımıyla çevreleyen çemberin yarıçapını bulma ve çember denklemi kullanarak analitik çözüm yapma.
Bu soruyu puanla

Konular

Kare

Bu konudan daha fazla soru