Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Kavramlar

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise bir asal sayıdır.

a2+ab−2b2=pa^2 + ab - 2b^2 = p

olduğuna göre,

I. aa çift sayıdır.
II. bb çift sayıdır.
III. a+ba + b çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IICevap
  3. C
    I ve II
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Yalnız II
Verilen ifadeyi (a−b)(a+2b)=p(a - b)(a + 2b) = p şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan a+2b>1a + 2b > 1 olur. pp asal sayı olduğundan a−b=1a - b = 1 olmalıdır. Buradan a=b+1a = b + 1 elde edilir. Bu durumda p=3b+1p = 3b + 1 olur. pp bir asal sayı ve bb pozitif tam sayı olduğundan pp çift asal sayı (2) olamaz, çünkü 3b+1=2  ⟹  3b=13b + 1 = 2 \implies 3b = 1 tam sayı çözümü vermez. Dolayısıyla pp tek asal sayıdır. 3b+13b + 1 tek ise 3b3b çift, yani bb çift sayıdır. bb çift ise a=b+1a = b + 1 tek sayı olur. Bu durumda yalnızca b'nin çift sayı olduğunu belirten ifade her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
a2+ab−2b2=(a−b)(a+2b)=pa^2 + ab - 2b^2 = (a - b)(a + 2b) = p elde edilir.
Asal sayı tanımını kullanabilmek için cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, çarpanların alabileceği değerleri belirleyelim.
a+2b>1a + 2b > 1 ve pp asal sayı olduğundan, küçük olan çarpan a−b=1a - b = 1 olmalıdır. Buradan a=b+1a = b + 1 elde edilir. Diğer çarpan ise a+2b=pa + 2b = p olmalıdır.
Bir asal sayının pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisidir.
3
a=b+1a = b + 1 eşitliğini diğer çarpanda yerine yazarak pp değerini bb cinsinden bulalım ve teklik-çiftlik durumunu inceleyelim.
(b+1)+2b=p  ⟹  3b+1=p(b + 1) + 2b = p \implies 3b + 1 = p olur. pp bir asal sayı ve bb pozitif tam sayı olduğundan pp çift asal sayı (2) olamaz (3b+1=2  ⟹  3b=13b + 1 = 2 \implies 3b = 1 tam sayı çözümü vermez). Dolayısıyla pp tek asal sayıdır. 3b+13b + 1 tek ise 3b3b çift sayıdır, bu da bb sayısının çift olduğunu gösterir. Buradan a=b+1a = b + 1 tek sayı olur.
2 dışındaki tüm asal sayıların tek sayı olması özelliğinden yararlanarak değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu belirleriz.
4
Bulunan teklik-çiftlik durumlarına göre öncülleri değerlendirelim.
bb çift ve aa tek sayıdır. Buna göre, I. öncül (aa çift) yanlıştır. II. öncül (bb çift) doğrudur. III. öncül (a+ba + b çift, yani tek + çift = tek) yanlıştır. Dolayısıyla yalnızca II. öncül her zaman doğrudur.
Elde edilen sonuçları öncüllerle karşılaştırarak doğru seçeneğe ulaşırız.

Anahtar Kavram

Asal sayıların özellikleri ve teklik-çiftlik kavramlarının cebirsel ifadelerde analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru