Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Kavramlar

aa, bb ve cc birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.

a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42

olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    14
  2. B
    15
  3. 16Cevap
  4. D
    17
  5. E
    18

Cevap

toplamın alabileceği en küçük değer olan 16'dır
Verilen denklemde en küçük toplamı elde etmek için katsayısı büyük olan değişkenlere olabildiğince büyük değerler vermeliyiz. Sayıların birbirinden farklı pozitif tam sayılar olması koşulu altında, c=11c = 11, b=4b = 4 ve a=1a = 1 değerleri denklemi sağlar ve en küçük toplamı olan 16 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyerek toplam ifadesini yalnız bırakma.
a+b+ca + b + c toplamına SS diyelim. Verilen a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 denklemini S+b+2c=42S + b + 2c = 42 şeklinde yazabiliriz. Buradan S=42−(b+2c)S = 42 - (b + 2c) elde edilir.
SS toplamını en küçük yapmak için çıkarılan (b+2c)(b + 2c) ifadesini en büyük yapmamız gerektiğini görmek.
2
aa değişkeninin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanma.
a≥1a \geq 1 olduğundan, 42−2b−3c≥1  ⟹  2b+3c≤4142 - 2b - 3c \geq 1 \implies 2b + 3c \leq 41 eşitsizliği elde edilir.
bb ve cc değişkenlerinin alabileceği üst sınırları belirlemek.
3
cc değişkenine en büyük değerleri vererek bb ve aa değerlerini test etme.
c=13c = 13 için 2b≤2  ⟹  b=1  ⟹  a=12b \leq 2 \implies b = 1 \implies a = 1 olur (farklı olma koşuluna uymaz). c=12c = 12 için 2b≤5  ⟹  b=12b \leq 5 \implies b = 1 veya b=2b = 2 olabilir. b=1b=1 için a=4a=4 bulunur (toplam 1717 olur). c=11c = 11 için 2b≤8  ⟹  b≤42b \leq 8 \implies b \leq 4 olur. En büyük b=4b = 4 için a=1a = 1 bulunur (toplam 1+4+11=161+4+11 = 16 olur).
Değişkenlerin birbirinden farklı ve pozitif tam sayı olma koşullarına göre en küçük toplamı bulmak.

Anahtar Kavram

Temel Kavramlar ve Sayı Kümelerinde Değer Verme

İpuçları

1
a+b+ca + b + c toplamını en küçük yapmak için katsayısı büyük olan bb ve cc değişkenlerini olabildiğince büyük seçmeye çalışmalısınız.
2
a+2b+3c=42a + 2b + 3c = 42 ifadesini (a+b+c)+b+2c=42(a+b+c) + b + 2c = 42 olarak düzenleyin. Toplamın en küçük olması için b+2cb + 2c ifadesi en büyük olmalıdır.
3
c=13c = 13, c=12c = 12 ve c=11c = 11 durumlarını tek tek deneyerek değişkenlerin pozitif tam sayı ve birbirinden farklı olma koşullarını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde katsayıları farklı olan denklemlerde en büyük veya en küçük değer sorularını çözerek değer verme becerilerinizi geliştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde aa yalnız bırakılırsa a=42−2b−3ca = 42 - 2b - 3c olur. a≥1a \geq 1 eşitsizliğinden yola çıkarak 2b+3c≤412b + 3c \leq 41 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük b+2cb + 2c değerini arayarak da çözüme ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru