Examkin

Soru

Zorluk: ZorTemel Kavramlar

xx, yy ve zz birer tam sayıdır.

x⋅y+zx \cdot y + z
y⋅(x+z)y \cdot (x + z)

ifadelerinden birinin tek sayı, diğerinin ise çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift tam sayıdır?

  1. y2+z2+1y^2 + z^2 + 1Cevap
  2. B
    x⋅(y+z)x \cdot (y + z)
  3. C
    zx+yz^x + y
  4. D
    yz+xy^z + x
  5. E
    x⋅y+z2x \cdot y + z^2

Cevap

y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesi her zaman bir çift tam sayıdır.
yy çift ve zz tek tam sayılar olduğundan, y2y^2 çift ve z2z^2 tek tam sayı olur. Buna göre y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesi c¸ift+tek+tek=c¸ift\text{çift} + \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} tam sayı sonucunu verir ve her zaman çift tam sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını incelemek için bir durum analizi başlatalım.
x⋅y+zx \cdot y + z ve y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadelerinden biri tek, diğeri çifttir.
Hangi ifadenin tek, hangisinin çift olduğunu belirlemek ve x,y,zx, y, z sayılarının teklik-çiftlik karakterlerini çözmek amacıyla varsayımlar yapılır.
2
yy sayısının tek sayı olduğu varsayımını inceleyelim.
Eğer yy tek sayı olsaydı, y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadesinin çift olabilmesi için x+zx + z toplamının çift olması gerekirdi. Bu durumda xx ve zz aynı pariteye (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olurdu. Eğer xx ve zz çift ise x⋅y+z=c¸ift⋅tek+c¸ift=c¸iftx \cdot y + z = \text{çift} \cdot \text{tek} + \text{çift} = \text{çift} olur. Eğer xx ve zz tek ise x⋅y+z=tek⋅tek+tek=c¸iftx \cdot y + z = \text{tek} \cdot \text{tek} + \text{tek} = \text{çift} olur. Her iki durumda da x⋅y+zx \cdot y + z çift çıkmaktadır. Ancak bu durum, ifadelerden birinin tek sayı olması şartıyla çelişir.
Varsayımın doğruluğunu denetlemek ve çelişkiyi göstererek yy sayısının paritesini kesinleştirmek için.
3
yy sayısının çift sayı olduğu durumu analiz edelim.
Eğer yy çift sayı ise y⋅(x+z)y \cdot (x + z) ifadesi kesinlikle çift sayı olur. Bu durumda diğer ifade olan x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin tek sayı olması zorunludur. yy çift olduğundan x⋅yx \cdot y çarpımı çift olur. Dolayısıyla x⋅y+zx \cdot y + z ifadesinin tek sayı olması için zz sayısının tek sayı olması gerekir. xx sayısı ise tek veya çift olabilir, bu konuda kesin bir çıkarım yapılamaz.
yy sayısının çift ve zz sayısının tek sayı olduğunu kesin olarak belirlemek için.
4
Elde edilen yy çift, zz tek ve xx belirsiz durumunu seçeneklerde yerine koyalım.
y2+z2+1y^2 + z^2 + 1 ifadesinde yy çift olduğu için y2y^2 çift tam sayıdır. zz tek olduğu için z2z^2 tek tam sayıdır. Bu durumda y2+z2+1=c¸ift+tek+1=c¸ifty^2 + z^2 + 1 = \text{çift} + \text{tek} + 1 = \text{çift} olur. yy ve zz tam sayı olduğundan karesel ifadeler de tam sayıdır ve sonuç her zaman çift bir tam sayıdır.
Seçenekleri analiz ederek her zaman çift tam sayı sonucunu veren doğru ifadeyi belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik kuralları ile negatif üs durumlarının incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru