Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFaktöriyel
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b!
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    125
  3. C
    126
  4. 131Cevap
  5. E
    132

Cevap

131
Verilen eşitlikten a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir. aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, 120120 sayısı ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılmalıdır. Bu durumlar:
1) Tek çarpan: 120=120  ⟹  a=120,b=119120 = 120 \implies a = 120, b = 119
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=120  ⟹  a=6,b=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies a = 6, b = 3
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  a=5,b=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies a = 5, b = 1 şeklindedir.
Olası aa değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği oran biçiminde yazalım.
a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir.
a! ifadesini b! cinsinden açarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
2
a!/b!a! / b! ifadesini ardışık çarpanlar��na ayıralım.
a⋅(a−1)⋅⋯⋅(b+1)=120a \cdot (a-1) \cdot \dots \cdot (b+1) = 120 olur. Burada aa ve bb pozitif tam sayılardır (a>ba > b).
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazarak olası aa ve bb değerlerini bulmak.
3
120 sayısını ardışık çarpanlarına ayırma durumlarını inceleyelim.
Durum 1: Tek çarpan olması: 120=120120 = 120. Bu durumda a=120a = 120 ve b=119b = 119 olur.
Durum 2: İki ardışık çarpan olması: n(n−1)=120n(n-1) = 120 denkleminin tam sayı çözümü yoktur.
Durum 3: Üç ardış��k çarpan olması: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Bu durumda a=6a = 6 ve b=3b = 3 olur.
Durum 4: Dört ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=1b = 1 olur.
Durum 5: Beş ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=0b = 0 olur ancak bb pozitif tam sayı olmak zorundadır. Bu nedenle bu durum yeni bir aa değeri üretmez.
120 sayısının tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek.
4
Bulunan farklı aa değerlerini toplayalım.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi

İpuçları

1
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b! ifadesini a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 biçimine getirerek başlayabilirsiniz.
2
120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.
3
120 sayısını 120120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 ve 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 şeklinde ardışık çarpanlarına ayırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru