Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
60!2x⋅15y\frac{60!}{2^x \cdot 15^y}
ifadesi bir tek tam sayıya eşit olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
  1. A
    84
  2. 70Cevap
  3. C
    60
  4. D
    68
  5. E
    44

Cevap

70
İfadenin bir tek tam sayıya eşit olması, sonucun çift olmaması yani içinde 2 çarpanı bulunmaması anlamına gelir. Bu yüzden paydadaki 2x2^x ifadesi, paydaki 60!60! sayısının içindeki tüm 2 çarpanlarını sadeleştirmelidir. 60!60! içinde 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1 olmak üzere toplam 30+15+7+3+1=5630+15+7+3+1 = 56 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla x=56x = 56 olmalıdır. Diğer taraftan, 15y=3y⋅5y15^y = 3^y \cdot 5^y çarpanının derecesi 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısını aşamaz. 60!60! içinde 28 adet 3 ve 14 adet 5 çarpanı bulunduğundan, daha az olan 5 çarpanının sayısı sınırı belirler ve yy en fazla 14 olabilir. Böylece x+yx+y toplamının en büyük değeri 70 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işleminin sonucunun bir tek tam sayı olması için sonuçta 2 çarpanı kalmamalıdır. Bu durum, paydadaki 2x2^x teriminin paydaki 60!60! sayısındaki tüm 2 çarpanlarını tam olarak sadeleştirmesini gerektirir. Bu yüzden xx değeri, 60!60! içindeki toplam 2 çarpanı sayısına eşit olmalıdır.
x=56x = 56 bulunur.
60!60! içindeki 2 çarpanı sayısını bulmak için ardışık bölme yöntemi uygulanır: 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1. Bölümlerin toplamı 30+15+7+3+1=5630 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56 olur.
2
Paydadaki 15y15^y ifadesi, asal çarpanlarına ayrılarak 3y⋅5y3^y \cdot 5^y şeklinde yazılır. İfadenin bir tam sayı olabilmesi için 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı, paydadaki 3y3^y ve 5y5^y çarpanlarından fazla veya onlara eşit olmalıdır.
yy değeri hem 3 hem de 5 çarpanının sınırını aşmamalıdır.
15 çarpanı elde etmek için hem 3 hem de 5 çarpanına aynı anda ihtiyaç duyulur.
3
60!60! sayısı içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı ardışık bölme ile hesaplanır.
3 çarpanı sayısı 28, 5 çarpanı sayısı 14 olarak bulunur.
3 çarpanı için: 60/3=2060/3 = 20, 20/3=620/3 = 6, 6/3=26/3 = 2 olup toplam 20+6+2=2820 + 6 + 2 = 28 adettir. 5 çarpanı için: 60/5=1260/5 = 12, 12/5=212/5 = 2 olup toplam 12+2=1412 + 2 = 14 adettir.
4
yy değerinin alabileceği en büyük sınır belirlenir.
y=14y = 14 olmalıdır.
3y⋅5y3^y \cdot 5^y ifadesinde 5 çarpanının sayısı (14) daha az olduğu için sınır belirleyicidir (y≤14y \le 14 olmalıdır).
5
x+yx + y toplamının en büyük değeri hesaplanır.
x+y=56+14=70x + y = 56 + 14 = 70 elde edilir.
xx değeri tam olarak 56 olmalı ve yy değeri en fazla 14 olabilmelidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde asal çarpanların derecesinin bulunması ve tam bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru