Examkin

Faktöriyel

16 soru

Tüm türler16Çoktan seçmeli12Sayısal4
Soru 1Soru →
Pozitif aa ve bb tam sayıları için
a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b!
olduğuna göre, a+ba + b toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük a+ba+b toplamı 4 olarak bulunur.
Verilen a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b! eşitliği b=1b=1 için a!=6⋅1=6=3!a! = 6 \cdot 1 = 6 = 3! den a=3a=3 sonucunu verir ve en küçük toplamı 3+1=43+1=4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a!=6⋅b!a! = 6 \cdot b! eşitliğini sağlayan pozitif tam sayı çiftlerini bulmak için faktöriyel özelliklerini kullanalım.
a!a! ve b!b! ifadeleri pozitif tam sayıların faktöriyelleridir.
Çözüm kümesini doğru tanımlamak için.
2
66 sayısının 3!3! değerine eşit olduğunu göz önüne alarak b=1b=1 değerini deneyelim.
a!=6⋅1!=6=3!a! = 6 \cdot 1! = 6 = 3! eşitliğinden a=3a = 3 bulunur.
Eşitliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı çiftini belirlemek için.
3
a!=n⋅(n−1)!a! = n \cdot (n-1)! kuralından hareketle 66 çarpanını 5!5! ile çarparak ardışık yazalım.
a!=6⋅5!=6!a! = 6 \cdot 5! = 6! eşitliğinden a=6a = 6 ve b=5b = 5 bulunur.
Diğer olası pozitif tam sayı çiftini bulmak için.
4
Elde edilen (3,1)(3, 1) ve (6,5)(6, 5) çiftleri için a+ba+b toplamlarını hesaplayıp en küçüğünü belirleyelim.
3+1=43+1=4 ve 6+5=116+5=11 toplamlarından en küçük olanı 44'tür.
Soruda istenen en küçük toplamı bulmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel sadeleştirmesi ve ardışık çarpan analizi
Soru 2Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!(y−1)!=12y+12\frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı 17'dir.
Verilen denklem düzenlendiğinde y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) elde edilir. Her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştirildiğinde geriye kalan ardışık çarpanların çarpımının 12 olması gerekir. Bu durum y=12y=12 (tek çarpanlı durum, x=13x=13) veya y(y+2)=12y(y+2)=12 (iki çarpanlı durum, y=1y=1 ve x=4x=4) olmak üzere iki farklı xx değeri üretir. Bu değerlerin toplamı da 17'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafını ortak çarpan parantezine alın.
12y+12=12(y+1)12y + 12 = 12(y+1) olur. Böylece denklem x!(y−1)!=12(y+1)\frac{x!}{(y-1)!} = 12(y+1) haline gelir.
Denklemi sadeleştirmek ve çarpanları daha net görmek için sağ tarafı düzenleriz.
2
xx ve y−1y-1 arasındaki büyüklük ilişkisini analiz ederek faktöriyeli sadeleştirin.
x<y−1x < y-1 durumunda pozitif tam sayılarda çözüm yoktur. x≥yx \ge y için x!=x(x−1)…y(y−1)!x! = x(x-1)\dots y(y-1)! ifadesi denklemde yerine yazıldığında, sol taraf y(y+1)…xy(y+1)\dots x ardı��ık çarpımına dönüşür.
Pay ve paydadaki (y−1)!(y-1)! ifadelerini sadeleştirmek için faktöriyel açılımını kullanırız.
3
Elde edilen ardışık çarpım denkleminde terim sayısına göre çözümleri belirleyin.
y(y+1)…x=12(y+1)y(y+1)\dots x = 12(y+1) denkleminde her iki taraf y+1y+1 ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpanların çarpımı 12 olmalıdır. İki terimli durumda (x=y+1x = y+1) y=12y = 12 ve dolayısıyla x=13x = 13 bulunur. Dört terimli durumda (x=y+3x = y+3) y(y+2)(y+3)=12y(y+2)(y+3) = 12 eşitliğinden y=1y=1 ve dolayısıyla x=4x=4 bulunur. Diğer terim sayıları için pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.
Sadeleşen denklemdeki ardışık sayı çarpımlarının çarpan analizini yaparak olası tüm (x,y)(x, y) ikililerini buluruz.
4
Bulunan farklı xx değerlerini toplayın.
x=4x = 4 ve x=13x = 13 değerlerinin toplamı 4+13=174 + 13 = 17 olarak bulunur.
Soru kökünde bizden istenen farklı xx değerlerinin toplamını elde etmek için bu işlemi yaparız.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren denklemlerde ardışık çarpan analizi ve sadeleştirme teknikleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
60!2x⋅15y\frac{60!}{2^x \cdot 15^y}
ifadesi bir tek tam sayıya eşit olduğuna göre, x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

70
İfadenin bir tek tam sayıya eşit olması, sonucun çift olmaması yani içinde 2 çarpanı bulunmaması anlamına gelir. Bu yüzden paydadaki 2x2^x ifadesi, paydaki 60!60! sayısının içindeki tüm 2 çarpanlarını sadeleştirmelidir. 60!60! içinde 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1 olmak üzere toplam 30+15+7+3+1=5630+15+7+3+1 = 56 adet 2 çarpanı vardır. Dolayısıyla x=56x = 56 olmalıdır. Diğer taraftan, 15y=3y⋅5y15^y = 3^y \cdot 5^y çarpanının derecesi 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısını aşamaz. 60!60! içinde 28 adet 3 ve 14 adet 5 çarpanı bulunduğundan, daha az olan 5 çarpanının sayısı sınırı belirler ve yy en fazla 14 olabilir. Böylece x+yx+y toplamının en büyük değeri 70 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bölme işleminin sonucunun bir tek tam sayı olması için sonuçta 2 çarpanı kalmamalıdır. Bu durum, paydadaki 2x2^x teriminin paydaki 60!60! sayısındaki tüm 2 çarpanlarını tam olarak sadeleştirmesini gerektirir. Bu yüzden xx değeri, 60!60! içindeki toplam 2 çarpanı sayısına eşit olmalıdır.
x=56x = 56 bulunur.
60!60! içindeki 2 çarpanı sayısını bulmak için ardışık bölme yöntemi uygulanır: 60/2=3060/2 = 30, 30/2=1530/2 = 15, 15/2=715/2 = 7, 7/2=37/2 = 3, 3/2=13/2 = 1. Bölümlerin toplamı 30+15+7+3+1=5630 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56 olur.
2
Paydadaki 15y15^y ifadesi, asal çarpanlarına ayrılarak 3y⋅5y3^y \cdot 5^y şeklinde yazılır. İfadenin bir tam sayı olabilmesi için 60!60! içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı, paydadaki 3y3^y ve 5y5^y çarpanlarından fazla veya onlara eşit olmalıdır.
yy değeri hem 3 hem de 5 çarpanının sınırını aşmamalıdır.
15 çarpanı elde etmek için hem 3 hem de 5 çarpanına aynı anda ihtiyaç duyulur.
3
60!60! sayısı içindeki 3 ve 5 çarpanlarının sayısı ardışık bölme ile hesaplanır.
3 çarpanı sayısı 28, 5 çarpanı sayısı 14 olarak bulunur.
3 çarpanı için: 60/3=2060/3 = 20, 20/3=620/3 = 6, 6/3=26/3 = 2 olup toplam 20+6+2=2820 + 6 + 2 = 28 adettir. 5 çarpanı için: 60/5=1260/5 = 12, 12/5=212/5 = 2 olup toplam 12+2=1412 + 2 = 14 adettir.
4
yy değerinin alabileceği en büyük sınır belirlenir.
y=14y = 14 olmalıdır.
3y⋅5y3^y \cdot 5^y ifadesinde 5 çarpanının sayısı (14) daha az olduğu için sınır belirleyicidir (y≤14y \le 14 olmalıdır).
5
x+yx + y toplamının en büyük değeri hesaplanır.
x+y=56+14=70x + y = 56 + 14 = 70 elde edilir.
xx değeri tam olarak 56 olmalı ve yy değeri en fazla 14 olabilmelidir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerde asal çarpanların derecesinin bulunması ve tam bölünebilme kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →
nn bir doğal sayı olmak üzere,
(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!−n!=26\frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!} = 26
eşitliği veriliyor.

Buna göre, n!n! sayısının sondan kaç basamağı s��fırdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
İfadenin sadeleştirilmesi sonucu n+2=26  ⟹  n=24n+2 = 26 \implies n = 24 elde edilir. 24!24! sayısının sondan sıfır basamak sayısını bulmak için 24 sayısı 5'e bölünür ve bölüm 4 olarak bulunur. Bu nedenle sondan 4 basamak sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi n!n! ortak parantezine alarak sadeleştirin.
n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅(n2+2n)=n!⋅n(n+2)n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)
Paydaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak ifadeyi sadeleştirmek.
2
Payda kısmındaki ifadeyi n!n! ortak parantezine alarak sadeleştirin.
n!⋅[(n+1)−1]=n!⋅nn! \cdot [(n+1) - 1] = n! \cdot n
Paydadaki terimleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye hazırlamak.
3
Pay ve paydayı birbirine oranlayarak sadeleştirme işlemini tamamlayın.
n!⋅n(n+2)n!⋅n=n+2\frac{n! \cdot n(n+2)}{n! \cdot n} = n+2
İfadenin en sade halini bulmak.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip nn değerini bulun.
n+2=26  ⟹  n=24n+2 = 26 \implies n = 24
nn doğal sayısını elde etmek.
5
24!24! sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 24'ü sürekli 5'e bölün.
24÷5=424 \div 5 = 4 (kalan 4). Bölüm olan 4 sayısı 5'ten küçük olduğundan bölme işlemi biter. Toplam sıfır sayısı 4'tür.
n!n! sayısının içindeki 5 asal çarpanlarının sayısını belirlemek.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve sondan sıfır basamak sayısını bulma kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →
xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere,
x!−2⋅y!y!=118\frac{x! - 2 \cdot y!}{y!} = 118
eşitliğini sağlayan farklı xx değerlerinin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131

Cevap

Farklı x değerlerinin toplamı 131'dir.
Denklem sadeleştirildiğinde x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 oranına ulaşılır. Bu oranı sağlayan pozitif tam sayı çiftleri ardışık çarpan analiziyle (120,119)(120, 119), (6,3)(6, 3) ve (5,1)(5, 1) olarak belirlenir. Buradan elde edilen farklı x değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 131131 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeyi paylarına bölerek sadeleştirin.
x!y!−2⋅y!y!=118  ⟹  x!y!−2=118\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} = 118 \implies \frac{x!}{y!} - 2 = 118
Denklemi daha basit bir faktöriyel oranı halinde inceleyebilmek için payda yer alan terimleri ortak paydaya bölerek ayırırız.
2
x!y!\frac{x!}{y!} oranını yalnız bırakın.
x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120
Faktöriyellerin bölümünden kalan ardışık çarpanların değerini bulabilmek için eşitliğin her iki tarafına 2 ekleriz.
3
Ardışık sayıların çarpımı 120 olacak şekilde xx ve yy pozitif tam sayı durumlarını belirleyin.
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı olarak yazabileceğimiz durumlar şunlardır:
- Tek çarpan olarak: 120=120  ⟹  120!119!=120  ⟹  x=120,y=119120 = 120 \implies \frac{120!}{119!} = 120 \implies x = 120, y = 119
- Üç ardış��k çarpan olarak: 6⋅5⋅4=120  ⟹  6!3!=120  ⟹  x=6,y=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies \frac{6!}{3!} = 120 \implies x = 6, y = 3
- Dört ardışık çarpan olarak: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  5!1!=120  ⟹  x=5,y=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies \frac{5!}{1!} = 120 \implies x = 5, y = 1
(Not: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=120  ⟹  5!0!5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \implies \frac{5!}{0!} durumu da mevcuttur ancak y pozitif bir tam sayı olması gerektiği için y = 0 durumu elenir. Fakat bu durum zaten x = 5 sonucunu değiştirmemektedir.)
Faktöriyellerin bölümü (x!/y!x! / y!) ardışık sayıların çarpımını temsil eder. 120 sayısının tüm ardışık tam sayı çarpan gruplarını bularak olası x değerlerini buluruz.
4
Elde edilen farklı xx değerlerini toplayın.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131
Pozitif tam sayılar kümesindeki t��m geçerli x değerlerinin toplamını bularak nihai sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

Faktöriyel denklemlerde sadeleştirme ve ardışık çarpan analizi

İpuçları

1
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi x!y!−2⋅y!y!\frac{x!}{y!} - \frac{2 \cdot y!}{y!} şeklinde yazarak sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirme sonucunda x!y!=120\frac{x!}{y!} = 120 eşitliğine ulaşacaksınız. 120 sayısını ardışık sayıların çarpımı biçiminde (1, 3 veya 4 terimli) yazabileceğiniz durumları inceleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış a!−3⋅b!b!=21\frac{a! - 3 \cdot b!}{b!} = 21 denklemini pozitif tam sayılarda çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi içler dışlar çarpımıyla düzenleyerek x!−2⋅y!=118⋅y!  ⟹  x!=120⋅y!x! - 2 \cdot y! = 118 \cdot y! \implies x! = 120 \cdot y! elde edebilir ve buradan 120'nin ardışık çarpanlarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

n≥3n \ge 3 bir tam sayı olmak üzere,

A=(n+2)!−(n+1)!−n!(n+1)!−n!A = \frac{(n+2)! - (n+1)! - n!}{(n+1)! - n!}
B=(n−1)!+(n−2)!(n−3)!B = \frac{(n-1)! + (n-2)!}{(n-3)!}

ifadeleri tanımlanıyor.

B−A=26B - A = 26

olduğuna göre, C=(n2−n)!C = (n^2 - n)! sayısı ile ilgili;

I. Sondan 9 basamağ�� sıfırdır.
II. Sayıyı bölen en büyük asal sayı 41'dir.
III. Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki 2 asal çarpanının üssü 38'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II
I ve II öncülleri doğrudur. Sadeleştirmeler sonucunda A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n elde edilir. Buradan B−A=n2−3n−2=26  ⟹  n=7B-A = n^2-3n-2 = 26 \implies n=7 bulunur. C=42!C = 42! olup, sondan 9 basamağı sıfırdır ve en büyük asal böleni 41'dir. 2 asal çarpanının üssü ise 39 olduğundan III. öncül yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB ifadelerini faktöriyel özelliklerini kullanarak sadeleştirin.
A=n+2A = n+2 ve B=n2−2nB = n^2-2n olarak bulunur.
Değişkenleri daha sade formda yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek için.
2
Sadeleştirilmiş ifadeleri B−A=26B - A = 26 denkleminde yerine yazıp nn değerini bulun.
n2−3n−28=0n^2 - 3n - 28 = 0 denkleminden (n−7)(n+4)=0(n-7)(n+4) = 0 elde edilir. n≥3n \ge 3 olduğundan n=7n = 7 bulunur.
C sayısının hangi sayının faktöriyeli olduğunu belirlemek için.
3
n=7n = 7 için C=(72−7)!=42!C = (7^2 - 7)! = 42! ifadesini elde edip I ve II numaralı öncülleri test edin.
42!42! sayısı için 5'e bölümlerin toplamı ⌊42/5⌋+⌊42/25⌋=8+1=9\lfloor 42/5 \rfloor + \lfloor 42/25 \rfloor = 8 + 1 = 9 sıfır basamağı verir (I. öncül doğru). 42'den küçük en büyük asal sayı 41 olduğundan en büyük asal bölen 41'dir (II. öncül doğru).
İlk iki öncülün doğruluğunu sayısal verilerle kanıtlamak için.
4
42!42! sayısındaki 2 asal çarpanının üssünü Legendre formülüyle hesaplayıp III. öncülü test edin.
⌊42/2⌋+⌊42/4⌋+⌊42/8⌋+⌊42/16⌋+⌊42/32⌋=21+10+5+2+1=39\lfloor 42/2 \rfloor + \lfloor 42/4 \rfloor + \lfloor 42/8 \rfloor + \lfloor 42/16 \rfloor + \lfloor 42/32 \rfloor = 21 + 10 + 5 + 2 + 1 = 39 bulunur. İfade 38 dediği için III. öncül yanlıştır.
Üçüncü öncülün yanlış olduğunu matematiksel olarak göstermek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alarak sadeleştirme yapma, Legendre formülü ile asal çarpan üssü ve sondan sıfır sayısı bulma.
Soru 7Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!−b!=22⋅c!a! - b! = 22 \cdot c!
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu eşitliği sağlayan farklı aa değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Farklı aa değerlerinin toplamı 27'dir.
Eşitliği sağlayan farklı aa değerleri b=cb=c durumundan 23 ve b>cb>c durumundan 4 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 23+4=2723 + 4 = 27 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde her iki tarafı c!c! ifadesine bölerek sadeleştirin.
a!c!−b!c!=22\frac{a!}{c!} - \frac{b!}{c!} = 22 elde edilir.
Terimler arasındaki faktöriyel ilişkilerini daha rahat analiz edebilmek için oranlama yapılır.
2
b<cb < c durumunun olası olup olmadığını inceleyin.
b<cb < c ise b!c!\frac{b!}{c!} ifadesi tam sayı olmayan pozitif bir kesir (örneğin 1c\frac{1}{c}) olur. Ancak a>ca > c olacağından a!c!\frac{a!}{c!} bir tam sayıdır. Tam sayıdan tam sayı olmayan bir kesir çıkarıldığında sonuç bir tam sayı (22) olamaz. Dolayısıyla b≥cb \ge c olmalıdır.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkilerini sınırlandırmak için.
3
b=cb = c durumunu inceleyin.
Denklemde b=cb = c yazılırsa a!c!−1=22  ⟹  a!c!=23\frac{a!}{c!} - 1 = 22 \implies \frac{a!}{c!} = 23 elde edilir. 23 bir asal sayı olduğundan bu oran ancak tek bir çarpanla, yani a=23a = 23 ve c=22c = 22 (dolayısıyla b=22b = 22) olduğunda sağlanabilir. Buradan ilk aa değeri a=23a = 23 olarak bulunur.
Eşitliği sağlayan ilk durumu analiz etmek için.
4
b>cb > c durumunu inceleyin.
b=c+kb = c + k (k≥1k \ge 1 tam sayısı) olsun. Bu durumda denklem:
(c+1)(c+2)…(c+k)⋅[(c+k+1)…a−1]=22(c+1)(c+2)\dots(c+k) \cdot [ (c+k+1)\dots a - 1 ] = 22
şeklinde yazılabilir. Sol taraftaki ardışık çarpanların ürünü olan (c+1)…(c+k)(c+1)\dots(c+k) ifadesi 22'nin pozitif bir böleni olmalıdır. 22'nin bölenleri arasından ardışık tam sayı çarpımı şeklinde yazılabilecek durumlar incelendiğinde, sadece c=1,k=1c = 1, k = 1 için (c+1)=2(c+1) = 2 çarpanı elde edilir. Bu durumda:
2⋅[3⋅4…a−1]=22  ⟹  3⋅4…a−1=11  ⟹  3⋅4…a=122 \cdot [ 3 \cdot 4 \dots a - 1 ] = 22 \implies 3 \cdot 4 \dots a - 1 = 11 \implies 3 \cdot 4 \dots a = 12
olur. Buradan a=4a = 4 elde edilir. Diğer bölenlerden (11 ve 22) geçerli bir pozitif tam sayı çözümü gelmez.
Eşitliği sağlayan ikinci durumu ve diğer olası aa değerini bulmak için.
5
Bulunan farklı aa değerlerini toplayın.
23+4=2723 + 4 = 27 elde edilir.
Soruda bizden istenen farklı aa değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli denklemlerde sadeleştirme, sınırlandırma analizi ve asal çarpanlara ayırma.
Soru 8Soru →
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere,
A!⋅B!A! \cdot B!
çarpımının asal bölenlerinden en büyüğü 1313'tür.

Buna göre, A+BA + B toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23

Cevap

Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür.
Toplamın alabileceği en küçük değer 23'tür. En küçük iki basamaklı doğal sayı 10 olup, en büyük asal bölenin 13 olması için diğer sayının en az 13 olması gerekir. Bu durumda sayılar 13 ve 10 seçilerek en küçük toplam elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel kavramı ile asal bölen ilişkisini kurma.
n!n! sayısının asal bölenleri, nn sayısından küçük veya nn sayısına eşit olan tüm asal sayılardır.
Faktöriyel, 1'den n'ye kadar olan ardışık tam sayıların çarpımı olduğundan bu aralıktaki tüm asal sayıları çarpan olarak barındırır.
2
En büyük asal bölen koşulunu analiz etme.
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleninin 1313 olması için, AA ve BB sayılarından en az birinin 1313 veya daha büyük olması, ancak her ikisinin de bir sonraki asal sayı olan 1717'den küçük olması gerekir (yani A,B<17A, B < 17 ve max⁡(A,B)≥13\max(A, B) \ge 13).
Eğer sayılardan biri 17 veya daha büyük olsaydı, çarpımın en büyük asal böleni en az 17 olurdu. Eğer her ikisi de 13'ten küçük olsaydı, en büyük asal bölen en fazla 11 olurdu.
3
İki basamaklı olma koşulunu uygulayarak toplamı en küçük yapacak değerleri seçme.
AA ve BB iki basamaklı doğal sayılar olduğundan A≥10A \ge 10 ve B≥10B \ge 10 olmalıdır. Toplamı en küçük yapmak için sayılardan birini en küçük iki basamaklı doğal sayı olan 1010, diğerini ise koşulu sağlayan en küçük değer olan 1313 olarak seçeriz.
Koşulları sağlayan en küçük (A,B)(A, B) ikilisi sırasıyla 13 ve 10'dur.
4
Toplamı hesaplama.
A+B=13+10=23A + B = 13 + 10 = 23 bulunur.
En küçük iki basamaklı değerlerin toplamı hedeflenmiştir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren ifadelerin asal bölenlerini belirleme ve verilen kısıtlar altında en küçük değerleri bulma.

İpuçları

1
Bir n!n! sayısının asal bölenlerinin, nn'den küçük veya nn'ye eşit asal sayılar olduğunu hatırlayın.
2
A!⋅B!A! \cdot B! çarpımının en büyük asal böleni 13 ise, bu sayılardan en az birinin en az 13 olması gerektiğini ve her ikisinin de 17'den küçük olması gerektiğini düşünün.
3
AA ve BB sayılarının iki basamaklı en küçük doğal sayılar olması kısıtını kullanarak, birini en küçük iki basamaklı sayı olan 10, diğerini ise en büyük asal böleni 13 yapacak en küçük sayı olan 13 olarak seçin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
8!−7!−6!6!\frac{8! - 7! - 6!}{6!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
Verilen rasyonel ifadenin payındaki faktöriyel terimleri en küçük terim olan 6!6! ortak parantezine alındığında, 6!(8⋅7−7−1)=6!⋅486!(8 \cdot 7 - 7 - 1) = 6! \cdot 48 elde edilir. Paydadaki 6!6! ile paydaki 6!6! sadeleştiğinde geriye kalan değer 4848 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük olan 6!6! cinsinden yazalım.
8!=8⋅7⋅6!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6! ve 7!=7⋅6!7! = 7 \cdot 6! olarak yazılır.
Payda bulunan 6!6! ile sadeleştirme yapabilmek için tüm terimleri aynı fakt��riyel cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Bu ifadeleri pay kısmında yerine koyarak payı 6!6! ortak parantezine alalım.
8!−7!−6!=(8⋅7⋅6!)−(7⋅6!)−(1⋅6!)=6!(56−7−1)=6!⋅488! - 7! - 6! = (8 \cdot 7 \cdot 6!) - (7 \cdot 6!) - (1 \cdot 6!) = 6!(56 - 7 - 1) = 6! \cdot 48
Çıkarma işlemini ortak çarpan parantezi yardımıyla basitleştirmek için.
3
Elde edilen çarpımı paydadaki 6!6! ifadesine bölerek sadeleştirme yapalım.
6!⋅486!=48\frac{6! \cdot 48}{6!} = 48
Pay ve paydadaki ortak 6!6! çarpanları birbirini sadeleştirir.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme kuralları.
Soru 10Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
(n+2)!+(n+1)!+n!(n+2)!−(n+1)!−n!=1311\frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{13}{11}
eşitliği veriliyor.

Buna göre, nn değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11'dir.
Verilen rasyonel ifadenin payı n!⋅(n+2)2n! \cdot (n+2)^2 ve paydası n!⋅n(n+2)n! \cdot n(n+2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak terimler olan n!n! ve (n+2)(n+2) sadeleştirildiğinde geriye n+2n\frac{n+2}{n} kalır. Bu oran 1311\frac{13}{11} değerine eşitlenip içler dışlar çarpımı yapıldığında 11n+22=13n  ⟹  2n=22  ⟹  n=1111n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli terimleri en küçük terim olan n!n! cinsinden yazarak ortak paranteze alın.
(n+2)!+(n+1)!+n!=n!⋅[(n+2)(n+1)+(n+1)+1]=n!⋅[n2+3n+2+n+1+1]=n!⋅(n2+4n+4)=n!⋅(n+2)2(n+2)! + (n+1)! + n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) + (n+1) + 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1] = n! \cdot (n^2 + 4n + 4) = n! \cdot (n+2)^2
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak amacıyla ortak paranteze alma yöntemi uygulanır.
2
Payda kısmındaki faktöriyelli terimleri de aynı şekilde n!n! ortak parantezine alarak düzenleyin.
(n+2)!−(n+1)!−n!=n!⋅[(n+2)(n+1)−(n+1)−1]=n!⋅[n2+3n+2−n−1−1]=n!⋅(n2+2n)=n!⋅n(n+2)(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)
Pay ile payda arasındaki ortak çarpanları sadeleştirebilmek için payda da çarpanlarına ayrılır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini kesirde yerine yazıp ortak çarpanları sadeleştirin.
n!⋅(n+2)2n!⋅n(n+2)=n+2n\frac{n! \cdot (n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}
Pay ve paydadaki n!n! ve birer adet (n+2)(n+2) çarpanı sadeleşerek ifadeyi en basit haline getirir.
4
Sadeleşmiş ifadeyi verilen orana eşitleyip içler dışlar çarpımı yardımıyla nn değerini bulun.
n+2n=1311  ⟹  11(n+2)=13n  ⟹  11n+22=13n  ⟹  2n=22  ⟹  n=11\frac{n+2}{n} = \frac{13}{11} \implies 11(n+2) = 13n \implies 11n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerinde ortak paranteze alma ve sadeleştirme yönteminin kullanılması.
Soru 11Soru →
7!+6!5!\frac{7! + 6!}{5!}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 48

Cevap

48
Verilen rasyonel ifadede pay kısmındaki faktöriyelli terimler en küçük olan terim (5!5!) cinsinden yazılarak ortak paranteze alınır. 7!=7×6×5!7! = 7 \times 6 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! olduğundan pay kısmı 5!×(42+6)=48×5!5! \times (42 + 6) = 48 \times 5! haline gelir. Paydadaki 5!5! ile paydaki 5!5! sadeleştiğinde geriye 48 kalır. Bu nedenle 48 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki 7!7! ve 6!6! ifadelerini paydada bulunan 5!5! terimi cinsinden açın.
7!=7×6×5!=42×5!7! = 7 \times 6 \times 5! = 42 \times 5! ve 6!=6×5!6! = 6 \times 5! elde edilir.
Rasyonel faktöriyel ifadelerinde büyük olan terimleri en küçük terim cinsinden açarak sadeleştirme yapmak işlemi kolaylaştırır.
2
Açılan terimleri pay kısmında yerine koyup ortak çarpan olan 5!5! parantezine al��n.
7!+6!=42×5!+6×5!=5!×(42+6)=48×5!7! + 6! = 42 \times 5! + 6 \times 5! = 5! \times (42 + 6) = 48 \times 5! bulunur.
Toplama işlemini ortak paranteze alarak çarpım biçimine dönüşt��rmek payda ile sadeleştirme yapabilmeyi sağlar.
3
Pay kısmında elde edilen çarpım durumundaki ifadeyi paydadaki 5!5! terimi ile sadeleştirin.
48×5!5!=48\frac{48 \times 5!}{5!} = 48 bulunur.
Pay ve paydadaki aynı çarpanlar birbirini götürür ve geriye sadece katsayı kalır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapmak için ortak çarpan parantezine alma yöntemi

Alternatif Yöntem

Faktöriyel değerleri küçük olduğundan doğrudan hesaplama da yapılabilir: 7!=50407! = 5040, 6!=7206! = 720 ve 5!=1205! = 120 olarak yazılır. Pay kısmı 5040+720=57605040 + 720 = 5760 olur. Bu değer paydadaki 120120'ye bölündüğünde 5760120=48\frac{5760}{120} = 48 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 12Soru →
A=6!−5!4!+3!A = \frac{6! - 5!}{4! + 3!}

olduğuna göre, AA sayısından küçük veya AA sayısına eşit kaç tane asal sayı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8 tane asal sayı vardır.
Verilen ifade sadeleştirildiğinde A=20A = 20 elde edilir. 20'den küçük veya 20'ye eşit olan asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 olmak üzere 8 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştiriniz.
6!−5!=6⋅5!−5!=5!⋅(6−1)=5⋅5!6! - 5! = 6 \cdot 5! - 5! = 5! \cdot (6 - 1) = 5 \cdot 5!
Pay kısmını daha küçük olan faktöriyel cinsinden yazıp sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
2
Payda k��smındaki faktöriyelli ifadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştiriniz.
4!+3!=4⋅3!+3!=3!⋅(4+1)=5⋅3!4! + 3! = 4 \cdot 3! + 3! = 3! \cdot (4 + 1) = 5 \cdot 3!
Payda kısmını sadeleştirmeye hazır hale getirmek.
3
Elde edilen ifadeleri oranlayarak AA değerini hesaplayınız.
A=5⋅5!5⋅3!=5!3!=5⋅4⋅3!3!=20A = \frac{5 \cdot 5!}{5 \cdot 3!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20
İfadenin sadeleşmiş halinin sayısal değerini bulmak.
4
20 sayısından küçük veya 20'ye eşit olan asal sayıları belirleyiniz.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (toplam 8 adet)
Tanıma uygun asal sayıların adedini bulmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme işlemleri ile asal sayı tanımı.
Soru 13Soru →
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b!
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, aa sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 131

Cevap

131
Verilen eşitlikten a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir. aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, 120120 sayısı ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılmalıdır. Bu durumlar:
1) Tek çarpan: 120=120  ⟹  a=120,b=119120 = 120 \implies a = 120, b = 119
2) Üç ardışık çarpan: 6⋅5⋅4=120  ⟹  a=6,b=36 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \implies a = 6, b = 3
3) Dört ardışık çarpan: 5⋅4⋅3⋅2=120  ⟹  a=5,b=15 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120 \implies a = 5, b = 1 şeklindedir.
Olası aa değerleri 120120, 66 ve 55 olup toplamları 120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliği oran biçiminde yazalım.
a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 elde edilir.
a! ifadesini b! cinsinden açarak sadeleştirmeyi kolaylaştırmak.
2
a!/b!a! / b! ifadesini ardışık çarpanlar��na ayıralım.
a⋅(a−1)⋅⋯⋅(b+1)=120a \cdot (a-1) \cdot \dots \cdot (b+1) = 120 olur. Burada aa ve bb pozitif tam sayılardır (a>ba > b).
120 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazarak olası aa ve bb değerlerini bulmak.
3
120 sayısını ardışık çarpanlarına ayırma durumlarını inceleyelim.
Durum 1: Tek çarpan olması: 120=120120 = 120. Bu durumda a=120a = 120 ve b=119b = 119 olur.
Durum 2: İki ardışık çarpan olması: n(n−1)=120n(n-1) = 120 denkleminin tam sayı çözümü yoktur.
Durum 3: Üç ardış��k çarpan olması: 6⋅5⋅4=1206 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Bu durumda a=6a = 6 ve b=3b = 3 olur.
Durum 4: Dört ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=1b = 1 olur.
Durum 5: Beş ardışık çarpan olması: 5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. Bu durumda a=5a = 5 ve b=0b = 0 olur ancak bb pozitif tam sayı olmak zorundadır. Bu nedenle bu durum yeni bir aa değeri üretmez.
120 sayısının tüm ardışık çarpan kombinasyonlarını eksiksiz belirlemek.
4
Bulunan farklı aa değerlerini toplayalım.
120+6+5=131120 + 6 + 5 = 131 bulunur.
Soruda istenen toplam değere ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve ardışık sayıların çarpımı olarak ifade edilmesi

İpuçları

1
a!=120⋅b!a! = 120 \cdot b! ifadesini a!b!=120\frac{a!}{b!} = 120 biçimine getirerek başlayabilirsiniz.
2
120 sayısını ardışık pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde kaç farklı yolla yazabileceğinizi düşünün.
3
120 sayısını 120120, 6⋅5⋅46 \cdot 5 \cdot 4 ve 5⋅4⋅3⋅25 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 şeklinde ardışık çarpanlarına ayırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a!+b!=2ca! + b! = 2^c
eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b,c)(a, b, c) sıralı üçlüsü vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan 4 farklı (a, b, c) pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır.
Denklemde a≤ba \le b kabul edilerek yapılan analizde, a=1a=1 için yalnızca (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü; a=2a=2 için (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3) çözümleri bulunur. a≥3a \ge 3 için ise faktöriyeller 3'ün katı olurken 2c2^c sayısı 3'ün katı olamadığından çözüm bulunmaz. aa ve bb'nin yer değiştirmesiyle oluşan (3,2,3)(3, 2, 3) çözümü de eklendiğinde toplamda 4 farklı sıralı üçlü elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Genelliği bozmadan a≤ba \le b olduğunu varsayalım ve a=1a = 1 durumunu inceleyelim.
a=1a = 1 ise 1!+b!=2c  ⟹  1+b!=2c1! + b! = 2^c \implies 1 + b! = 2^c olur. cc pozitif tam sayı olduğundan 2c2^c çift bir sayıdır. b≥2b \ge 2 için b!b! çift olacağından 1+b!1 + b! tek sayı olur ve eşitlik sağlanamaz. Dolayısıyla b=1b = 1 olmalıdır. Buradan 1!+1!=2=21  ⟹  c=11! + 1! = 2 = 2^1 \implies c = 1 bulunur. Bu durumdan (1,1,1)(1, 1, 1) çözümü elde edilir.
En küçük pozitif tam sayı değerinden başlayarak durum analizi yapmak için.
2
a=2a = 2 durumunu inceleyelim.
a=2a = 2 ise 2!+b!=2+b!=2c2! + b! = 2 + b! = 2^c olur. b=2b = 2 için 2+2=4=22  ⟹  c=22 + 2 = 4 = 2^2 \implies c = 2 bulunur, buradan (2,2,2)(2, 2, 2) çözümü gelir. b=3b = 3 için 2+6=8=23  ⟹  c=32 + 6 = 8 = 2^3 \implies c = 3 bulunur, buradan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümü gelir. b≥4b \ge 4 için b!b! sayısı 4 ile tam bölünür (b!=4kb! = 4k). Denklem 2+4k=2c  ⟹  2(1+2k)=2c  ⟹  1+2k=2c−12 + 4k = 2^c \implies 2(1 + 2k) = 2^c \implies 1 + 2k = 2^{c-1} halini alır. b≥4b \ge 4 için 2+b!≥26  ⟹  c≥52 + b! \ge 26 \implies c \ge 5 olduğundan 2c−12^{c-1} çift, fakat 1+2k1 + 2k tektir; çelişki nedeniyle b≥4b \ge 4 için çözüm yoktur.
a=2a = 2 için bb değerlerini adım adım büyütüp bölünebilme kurallarını uygulayarak sınırlandırmak i��in.
3
a≥3a \ge 3 durumunu inceleyelim.
a≥3a \ge 3 ve kabulümüz gereği b≥3b \ge 3 olduğundan hem a!a! hem de b!b! sayıları 3 ile tam bölünür. Dolayısıyla a!+b!a! + b! toplamı da 3'ün katı olmalıdır. Ancak 2c2^c sayısının 3 ile bölümünden kalan hiçbir zaman 0 olamaz (2'nin kuvvetlerinin asal çarpanı sadece 2'dir). Bu çelişki nedeniyle a≥3a \ge 3 için çözüm yoktur.
aa ve bb değerleri 3 veya daha büyük olduğunda faktöriyellerin barındırdığ�� ortak asal çarpanları (bu durumda 3) kullanarak eşitliğin imkansızlığını göstermek için.
4
Elde edilen çözümleri sıralı üçlüler olarak yazalım ve simetri durumunu ekleyelim.
a≤ba \le b varsayımı altında bulunan çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2) ve (2,3,3)(2, 3, 3)'tür. aa ve bb'nin yer değiştirebilme özelliğinden ötürü, a≠ba \ne b olan (2,3,3)(2, 3, 3) çözümünün simetriği olan (3,2,3)(3, 2, 3) de bir çözümdür. Böylece tüm çözümler: (1,1,1)(1, 1, 1), (2,2,2)(2, 2, 2), (2,3,3)(2, 3, 3) ve (3,2,3)(3, 2, 3) olmak üzere 4 tanedir.
Sıralı üçlü tanımına uygun olarak tüm olası permütasyonları eksiksiz saymak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli denklemlerde asal çarpan analizi ve bölünebilme kuralları yardımıyla değer sınırlandırması yapılması.

İpuçları

1
Denklemi çözmek için a≤ba \le b varsayımı yaparak durumları sınırlandırmayı deneyin.
2
a≥3a \ge 3 durumunda hem a!a! hem de b!b! ifadelerinin hangi ortak asal çarpan değerine sahip olduğunu ve bu çarpanın 2c2^c ifadesinde bulunup bulunmadığını kontrol edin.
3
a=1a=1 ve a=2a=2 durumlarını ayrı ayrı ele alıp b≥4b \ge 4 için 2+b!=2c2 + b! = 2^c ifadesini her iki tarafı 2'ye bölerek tek-çift sayı analiziyle çelişkiye ulaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla a!+b!+c!=2da! + b! + c! = 2^d denkleminin pozitif tam sayılardaki çözümlerini araştırmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemde her iki tarafın 3 ile bölümünden kalanlar (mod 3) incelenebilir. n≥3n \ge 3 için n!≡0(mod3)n! \equiv 0 \pmod 3 olduğundan, a,b≥3a, b \ge 3 durumunda sol taraf 0(mod3)0 \pmod 3 olur. Ancak 2c≡(−1)c(mod3)2^c \equiv (-1)^c \pmod 3 olduğundan sağ taraf asla 0 olamaz. Bu da bize doğrudan aa veya bb değerlerinden en az birinin 3'ten küçük (yani 1 veya 2) olması gerektiğini gösterir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 15Soru →
x!⋅y!=24⋅(x−1)!x! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)!

eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 51

Cevap

Farklı x+y toplamlarının alabileceği değerlerin toplamı 51'dir.
Denklemin sadeleştirilmiş hali olan x⋅y!=24x \cdot y! = 24 eşitliğinde, y!y! ifadesinin 24'ü tam bölen değerleri (1!,2!,3!,4!1!, 2!, 3!, 4!) incelenir. Bu durumlardan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 25, 14, 7 ve 5'tir. Bu farklı değerlerin toplamı 51 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki x!x! ifadesi, ardışığı olan (x−1)!(x-1)! cinsinden açılır.
x!=x⋅(x−1)!x! = x \cdot (x-1)! özdeşliği kullanılarak denklem x⋅(x−1)!⋅y!=24⋅(x−1)!x \cdot (x-1)! \cdot y! = 24 \cdot (x-1)! haline getirilir.
Denklemin her iki tarafında yer alan ortak faktöriyel çarpanları sadeleştirmek.
2
Eşitliğin her iki tarafı (x−1)!(x-1)! ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denklemi elde edilir.
xx pozitif bir tam sayı olduğundan (x−1)!(x-1)! ifadesi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirme yapılabilir.
3
xx ve yy pozitif tam sayılar olduğundan, y!y! ifadesinin 24'ün bir böleni olmas�� gerektiği dikkate alınarak olası tüm yy değerleri değerlendirilir.
Pozitif tam sayı olan yy için olası durumlar:
- y=1  ⟹  1!=1  ⟹  x=24  ⟹  x+y=25y = 1 \implies 1! = 1 \implies x = 24 \implies x+y = 25
- y=2  ⟹  2!=2  ⟹  x=12  ⟹  x+y=14y = 2 \implies 2! = 2 \implies x = 12 \implies x+y = 14
- y=3  ⟹  3!=6  ⟹  x=4  ⟹  x+y=7y = 3 \implies 3! = 6 \implies x = 4 \implies x+y = 7
- y=4  ⟹  4!=24  ⟹  x=1  ⟹  x+y=5y = 4 \implies 4! = 24 \implies x = 1 \implies x+y = 5
y≥5y \geq 5 için y!≥120y! \geq 120 olacağından pozitif tam sayı olan bir xx değeri bulunamaz.
Koşulları sağlayan tüm (x,y)(x, y) çiftlerini ve bu çiftlere karşılık gelen x+yx+y toplamlarını bulmak.
4
Bulunan farklı x+yx+y değerleri toplanır.
25+14+7+5=5125 + 14 + 7 + 5 = 51 sonucu bulunur.
Soruda bizden istenen farklı toplam değerlerinin genel toplamına ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ifadelerde sadeleştirme ve pozitif tam sayılarda değer verme analizi

İpuçları

1
x!x! ifadesini (x−1)!(x-1)! cinsinden yazarak her iki taraftaki ortak terimleri sadeleştirmeyi deneyin.
2
Sadeleştirmeden sonra elde edeceğiniz x⋅y!=24x \cdot y! = 24 denkleminde y!y! ifadesinin alabileceği değerlerin 24'ün böleni olması gerektiğini unutmayın.
3
yy pozitif bir tam sayı olduğuna göre, faktöriyeli 24'ü tam bölen tüm yy değerlerini (1, 2, 3 ve 4) sırasıyla deneyerek her biri için xx ve x+yx+y değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Farklı bir soru olarak, x!⋅y!=48⋅(x−1)!x! \cdot y! = 48 \cdot (x-1)! eşitliğini sağlayan xx ve yy pozitif tam sayıları için xx değerlerinin toplamı sorulabilir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, y!y! değerlerini doğrudan 24'ün bölenleri arasından seçip (1,2,6,241, 2, 6, 24), bu değerlere karşılık gelen yy pozitif tam sayılarının varlığını kontrol edebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
60!12n\frac{60!}{12^n}
ifadesi bir tek tam sayı olduğuna göre, nn kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

İfadenin tek tam sayı olmasını sağlayan n değeri 28'dir.
İfadenin tek bir tam sayı olması için sadeleşme sonucunda elde edilen sayıda hiç 2 çarpanı kalmamalıdır. 12n=22n⋅3n12^n = 2^{2n} \cdot 3^n yazıldığında, 60!60! içindeki 2 çarpanlarının sayısı olan 56, paydadaki 2 çarpanlarının sayısı olan 2n2n değerine eşitlenir. Buradan n=28n = 28 bulunur. Ayrıca 60!60! içindeki 3 çarpanlarının sayısı da tam olarak 28 olduğundan, paydadaki 3283^{28} ile paydaki 3283^{28} tam sadeleşir ve sonuç tam sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tek sayı olma koşulunu belirleme ve paydayı asal çarpanlarına ayırma.
Paydadaki 2 çarpanlarının sayısı paydaki 2 çarpanlarının sayısına eşit olmalıdır. Payda 22n⋅3n2^{2n} \cdot 3^n olarak ayrıştırılır.
Bir tam sayının tek olması için çarpanları arasında 2 asal sayısının bulunmaması gerekir.
2
60!60! sayısı içindeki 2 asal çarpanının sayısını Legendre formülü ile hesaplama.
60!60! içinde 56 adet 2 çarpanı vardır.
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
Pay ve paydadaki 2 ��arpanlarının sayısını eşitleyerek n değerini bulma.
2n=56⇒n=282n = 56 \Rightarrow n = 28 bulunur.
Tek sayı elde etmek için paydadaki tüm 2'lerin paydaki tüm 2'leri tam olarak sadeleştirmesi gerekir.
4
n=28n = 28 için paydadaki 3 çarpanlarının sayısını kontrol etme.
60!60! içindeki 3 çarpanı sayısı da 28'dir. Bu durumda paydadaki 3283^{28} ifadesi paydaki 3283^{28} ifadesi ile tam sadeleşir ve sonuç tam sayı kalır.
Elde edilen n değerinin ifadeyi tam sayı yapma koşulunu (paydadaki 3'lerin paydaki 3'lerden fazla olmaması) sağladığından emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı içerisinde asal çarpan sayısının bulunması ve bölünebilme ilişkileri.