x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, \frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12\neşitliğini sağlayan farklı x değerlerinin toplamı kaçtır?

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, \frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12\neşitliğini sağlayan … — ALES

x

y

pozitif tam sayılar olmak üzere,

\frac{x!}{(y-1)!} = 12y + 12

eşitliğini sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 17

Cevap

Eşitliği sağlayan farklı

x

değerlerinin toplamı 17'dir.

Verilen denklem düzenlendiğinde

y(y+1)\dots x = 12(y+1)

elde edilir. Her iki taraf

y+1

ile sadeleştirildiğinde geriye kalan ardışık çarpanların çarpımının 12 olması gerekir. Bu durum

y=12

(tek çarpanlı durum,

x=13

) veya

y(y+2)=12

(iki çarpanlı durum,

y=1

x=4

) olmak üzere iki farklı

x

değeri üretir. Bu değerlerin toplamı da 17'dir.

Adım Adım Çözüm

Eşitliğin sağ tarafını ortak çarpan parantezine alın.

12y + 12 = 12(y+1)

olur. Böylece denklem

\frac{x!}{(y-1)!} = 12(y+1)

haline gelir.

Denklemi sadeleştirmek ve çarpanları daha net görmek için sağ tarafı düzenleriz.

x

y-1

arasındaki büyüklük ilişkisini analiz ederek faktöriyeli sadeleştirin.

x < y-1

durumunda pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.

x \ge y

için

x! = x(x-1)\dots y(y-1)!

ifadesi denklemde yerine yazıldığında, sol taraf

y(y+1)\dots x

ardı��ık çarpımına dönüşür.

Pay ve paydadaki

(y-1)!

ifadelerini sadeleştirmek için faktöriyel açılımını kullanırız.

Elde edilen ardışık çarpım denkleminde terim sayısına göre çözümleri belirleyin.

y(y+1)\dots x = 12(y+1)

denkleminde her iki taraf

y+1

ile sadeleştiğinde geriye kalan çarpanların çarpımı 12 olmalıdır. İki terimli durumda (

x = y+1

)

y = 12

ve dolayısıyla

x = 13

bulunur. Dört terimli durumda (

x = y+3

)

y(y+2)(y+3) = 12

eşitliğinden

y=1

ve dolayısıyla

x=4

bulunur. Diğer terim sayıları için pozitif tam sayılarda çözüm yoktur.

Sadeleşen denklemdeki ardışık sayı çarpımlarının çarpan analizini yaparak olası tüm

(x, y)

ikililerini buluruz.

Bulunan farklı

x

değerlerini toplayın.

x = 4

x = 13

değerlerinin toplamı

4 + 13 = 17

olarak bulunur.

Soru kökünde bizden istenen farklı

x

değerlerinin toplamını elde etmek için bu işlemi yaparız.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren denklemlerde ardışık çarpan analizi ve sadeleştirme teknikleri.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru