Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇokgenler ve Genel Dörtgenler

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri sırasıyla 140∘140^\circ, 150∘150^\circ ve 160∘160^\circ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 170∘170^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    24
  3. C
    27
  4. 30Cevap
  5. E
    29

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 30'dur.
Doğru cevap 30'dur. Bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı 360∘360^\circ dir. Soruda verilen 140∘140^\circ, 150∘150^\circ ve 160∘160^\circ lik üç iç açının dış açıları sırasıyla 40∘40^\circ, 30∘30^\circ ve 20∘20^\circ dir. Diğer tüm iç açılar 170∘170^\circ olduğundan, bu köşelerin dış açıları 10∘10^\circ dir. Toplam nn kenarlı çokgende bu eşit açılardan n−3n - 3 tane bulunur. Dış açılar toplamı denkleminden: 40∘+30∘+20∘+(n−3)×10∘=360∘⇒90∘+10∘(n−3)=360∘⇒n=3040^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ \Rightarrow 90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ \Rightarrow n = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin kenar sayısını nn olarak belirleyip, dış açılar toplamı kuralını hatırlayalım.
Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ dir.
Dış açılar üzerinden işlem yapmak, iç açılar toplamı formülüne göre daha hızlı ve pratik bir çözüm sağlar.
2
Ölçüleri verilen üç iç açının her birine karşılık gelen dış açıları hesaplayalım.
180∘−140∘=40∘180^\circ - 140^\circ = 40^\circ, 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ve 180∘−160∘=20∘180^\circ - 160^\circ = 20^\circ dış açıları elde edilir.
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ dir.
3
Geriye kalan açıların dış açısını ve bu açılardan kaç tane olduğunu belirleyelim.
Kalan iç açılar 170∘170^\circ olduğundan her birinin dış açısı 180∘−170∘=10∘180^\circ - 170^\circ = 10^\circ olur. Toplam nn köşeden 3 tanesini kullandığımız için geriye n−3n - 3 tane köşe kalır.
Çokgenin toplam köşe sayısı kenar sayısına (nn) eşittir.
4
Tüm dış açıların toplamını 360∘360^\circ ye eşitleyen denklemi kuralım ve nn değerini çözelim.
40∘+30∘+20∘+(n−3)×10∘=360∘40^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ ise 90∘+10∘(n−3)=360∘90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ olur. Buradan 10∘(n−3)=270∘10^\circ(n - 3) = 270^\circ, n−3=27n - 3 = 27 ve n=30n = 30 bulunur.
Kurulan doğrusal denklem çözülerek çokgenin kenar sayısı belirlenir.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamının 360∘360^\circ olması ve bir köşedeki iç açıyla dış açının bütünler (180∘180^\circ) olması kuralı.

İpuçları

1
Çokgen sorularında iç açılar yerine dış açılar toplamının daima 360∘360^\circ olduğu bilgisini kullanmak işlemleri oldukça kolaylaştırır.
2
Her bir iç açıyı 180∘180^\circ ye tamamlayarak dış açıları bulun. Üç açının dış açıları 40∘40^\circ, 30∘30^\circ ve 20∘20^\circ iken diğer köşelerin her birinin dış açısı 10∘10^\circ dir.
3
Kenar sayısı nn ise, 10∘10^\circ lik dış açılardan n−3n-3 tane vardır. Bu dış açıların hepsinin toplamını 360∘360^\circ ye eşitleyen denklemi kurarak nn değerini çekebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir düzgün çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki bağıntıyı kurarak kenar sayısını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru iç açılar toplamı formülü olan (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ kullanılarak da çözülebilir. Çokgenin iç açılar toplamı: 140∘+150∘+160∘+(n−3)×170∘=(n−2)×180∘140^\circ + 150^\circ + 160^\circ + (n-3) \times 170^\circ = (n-2) \times 180^\circ şeklinde yazılır. Buradan 450+170n−510=180n−360⇒170n−60=180n−360⇒10n=300⇒n=30450 + 170n - 510 = 180n - 360 \Rightarrow 170n - 60 = 180n - 360 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çokgenler ve Genel Dörtgenler

Bu konudan daha fazla soru