Bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katıdır. Buna göre, bu çokgenin iç… — ALES

Bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının $3$ katıdır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

İç açılarının ölçüleri toplamı

1260^\circ

olan seçenektir.

Çokgenin kenar sayısı

n

olmak üzere, köşegen sayısı

\frac{n(n-3)}{2}

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen köşegen sayısının kenar sayısının

3

katı olması durumu

\frac{n(n-3)}{2} = 3n

denklemiyle ifade edilir. Buradan

n-3 = 6

n = 9

bulunur. Dokuz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülünden

(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ

olarak bulunur.

Köşegen sayısı ve kenar sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurun.

Kenar sayısı

n

olan bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı

\frac{n(n-3)}{2}

formülüyle bulunur. Köşegen sayısı kenar sayısının

3

katı olduğuna göre denklem:

\frac{n(n-3)}{2} = 3n

şeklindedir.

Çokgenin kenar sayısını bulmak için soruda verilen sözel ilişkiyi matematiksel bir eşitliğe dönüştürmemiz gerekir.

Denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.

\frac{n(n-3)}{2} = 3n \Rightarrow n(n-3) = 6n

elde edilir. Çokgenin kenar sayısı sıfırdan büyük olacağından (

n > 0

), eşitliğin her iki tarafını

n

ile bölebiliriz. Buradan

n-3 = 6 \Rightarrow n = 9

(dokuzgen) bulunur.

İç açılar toplamını hesaplayabilmek için çokgenin kaç kenarlı olduğunu bilmemiz gerekir.

Bulunan kenar sayısını kullanarak iç açılar toplamını hesaplayın.

n

kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2) \times 180^\circ

formülüyle hesaplanır.

n=9

için bu değer:

(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ

olur.

Bizden istenen çokgenin iç açılarının toplam derecesini bulmaktır.

Dışbükey çokgenlerde köşegen sayısı formülü

\frac{n(n-3)}{2}

ve iç açıların ölçüleri toplamı formülü

(n-2) \times 180^\circ

arasındaki ilişkidir.

Soru