Examkin

Çokgenler ve Genel Dörtgenler

5 soru

Tüm türler5Çoktan seçmeli4Sayısal1
Soru 1Soru →

Bir dışbükey çokgenin üç iç açısının ölçüleri sırasıyla 140∘140^\circ, 150∘150^\circ ve 160∘160^\circ dir. Bu çokgenin diğer tüm iç açılarının ölçüleri birbirine eşit ve 170∘170^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 30'dur.
Doğru cevap 30'dur. Bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı 360∘360^\circ dir. Soruda verilen 140∘140^\circ, 150∘150^\circ ve 160∘160^\circ lik üç iç açının dış açıları sırasıyla 40∘40^\circ, 30∘30^\circ ve 20∘20^\circ dir. Diğer tüm iç açılar 170∘170^\circ olduğundan, bu köşelerin dış açıları 10∘10^\circ dir. Toplam nn kenarlı çokgende bu eşit açılardan n−3n - 3 tane bulunur. Dış açılar toplamı denkleminden: 40∘+30∘+20∘+(n−3)×10∘=360∘⇒90∘+10∘(n−3)=360∘⇒n=3040^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ \Rightarrow 90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ \Rightarrow n = 30 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çokgenin kenar sayısını nn olarak belirleyip, dış açılar toplamı kuralını hatırlayalım.
Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı ne olursa olsun dış açılarının toplamı her zaman 360∘360^\circ dir.
Dış açılar üzerinden işlem yapmak, iç açılar toplamı formülüne göre daha hızlı ve pratik bir çözüm sağlar.
2
Ölçüleri verilen üç iç açının her birine karşılık gelen dış açıları hesaplayalım.
180∘−140∘=40∘180^\circ - 140^\circ = 40^\circ, 180∘−150∘=30∘180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ve 180∘−160∘=20∘180^\circ - 160^\circ = 20^\circ dış açıları elde edilir.
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı 180∘180^\circ dir.
3
Geriye kalan açıların dış açısını ve bu açılardan kaç tane olduğunu belirleyelim.
Kalan iç açılar 170∘170^\circ olduğundan her birinin dış açısı 180∘−170∘=10∘180^\circ - 170^\circ = 10^\circ olur. Toplam nn köşeden 3 tanesini kullandığımız için geriye n−3n - 3 tane köşe kalır.
Çokgenin toplam köşe sayısı kenar sayısına (nn) eşittir.
4
Tüm dış açıların toplamını 360∘360^\circ ye eşitleyen denklemi kuralım ve nn değerini çözelim.
40∘+30∘+20∘+(n−3)×10∘=360∘40^\circ + 30^\circ + 20^\circ + (n - 3) \times 10^\circ = 360^\circ ise 90∘+10∘(n−3)=360∘90^\circ + 10^\circ(n - 3) = 360^\circ olur. Buradan 10∘(n−3)=270∘10^\circ(n - 3) = 270^\circ, n−3=27n - 3 = 27 ve n=30n = 30 bulunur.
Kurulan doğrusal denklem çözülerek çokgenin kenar sayısı belirlenir.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin dış açılar toplamının 360∘360^\circ olması ve bir köşedeki iç açıyla dış açının bütünler (180∘180^\circ) olması kuralı.

İpuçları

1
Çokgen sorularında iç açılar yerine dış açılar toplamının daima 360∘360^\circ olduğu bilgisini kullanmak işlemleri oldukça kolaylaştırır.
2
Her bir iç açıyı 180∘180^\circ ye tamamlayarak dış açıları bulun. Üç açının dış açıları 40∘40^\circ, 30∘30^\circ ve 20∘20^\circ iken diğer köşelerin her birinin dış açısı 10∘10^\circ dir.
3
Kenar sayısı nn ise, 10∘10^\circ lik dış açılardan n−3n-3 tane vardır. Bu dış açıların hepsinin toplamını 360∘360^\circ ye eşitleyen denklemi kurarak nn değerini çekebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bir düzgün çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısı arasındaki bağıntıyı kurarak kenar sayısını bulmaya yönelik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru iç açılar toplamı formülü olan (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ kullanılarak da çözülebilir. Çokgenin iç açılar toplamı: 140∘+150∘+160∘+(n−3)×170∘=(n−2)×180∘140^\circ + 150^\circ + 160^\circ + (n-3) \times 170^\circ = (n-2) \times 180^\circ şeklinde yazılır. Buradan 450+170n−510=180n−360⇒170n−60=180n−360⇒10n=300⇒n=30450 + 170n - 510 = 180n - 360 \Rightarrow 170n - 60 = 180n - 360 \Rightarrow 10n = 300 \Rightarrow n = 30 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü 120∘120^\circ ve ardışık iç açılar arasındaki fark 5∘5^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Doğru olan kenar sayısı 9, aritmetik dizi toplamı ile çokgenin iç açılar toplamını eşitleyen denklem çözüldüğünde elde edilen iki kökten biridir. Diğer kök olan 16 değeri, çokgenin en büyük iç açısının 195∘195^\circ olmasına yol açtığı için dışbükeylik kuralını ihlal eder ve elenir. 9 kenarlı çokgenin en büyük iç açısı ise 160∘160^\circ olup dışbükeylik kuralını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kenar sayısı nn olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamını veren genel formülü yazalım.
İç açılar toplamı =(n−2)⋅180∘= (n - 2) \cdot 180^\circ şeklindedir.
Çokgenin geometrik özelliklerinden kaynaklanan iç açılar toplamını belirlemek için.
2
En küçük terimi 120∘120^\circ ve ortak farkı 5∘5^\circ olan nn terimli bir aritmetik dizinin toplam formülünü oluşturalım.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]=n2⋅[2⋅120+(n−1)⋅5]=n2⋅(5n+235)S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 120 + (n - 1) \cdot 5] = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235) olur.
Çokgenin iç açılarının aritmetik dizi kuralına göre toplam değerini nn cinsinden ifade etmek için.
3
Bu iki iç açılar toplamı ifadesini birbirine eşitleyerek nn değerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
(n−2)⋅180=n2⋅(5n+235)  ⟹  360n−720=5n2+235n  ⟹  5n2−125n+720=0(n - 2) \cdot 180 = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 elde edilir. Denklemin her iki tarafı da 55 ile bölündüğünde n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemi bulunur.
Her iki toplam ifadesi de çokgenin aynı iç açılar toplamını temsil ettiğinden bunları eşitleriz.
4
Elde edilen n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak kökleri bulalım.
(n−9)(n−16)=0  ⟹  n=9(n - 9)(n - 16) = 0 \implies n = 9 veya n=16n = 16 bulunur.
Kenar sayısı olabilecek olası kök adaylarını tespit etmek için.
5
Köklerin dışbükey (konveks) çokgen kuralına (an<180∘a_n < 180^\circ) uyup uymadığını kontrol edelim.
n=16n = 16 için en büyük iç açı a16=120+(16−1)⋅5=195∘a_{16} = 120 + (16 - 1) \cdot 5 = 195^\circ olur. 195∘>180∘195^\circ > 180^\circ olduğundan bu durum dışbükey çokgen tanımına aykırıdır ve elenir. n=9n = 9 için en büyük iç açı a9=120+(9−1)⋅5=160∘<180∘a_9 = 120 + (9 - 1) \cdot 5 = 160^\circ < 180^\circ olup dışbükeylik şartını sağlar. Bu yüzden kenar sayısı 9 olmalıdır.
Dışbükey bir çokgenin hiçbir iç açısının 180∘180^\circ sınırını aşamayacağı geometrik gerçeğini kullanarak geçersiz kökü elemektır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerin iç açılarının geometrik sınırlamaları ve aritmetik dizi uygulamaları

İpuçları

1
Çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ formülü ile hesaplanır. Aynı toplamı aritmetik dizi toplam formülü kullanarak da yazın.
2
Elde ettiğiniz iki toplam ifadesini birbirine eşitleyerek nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin ve bu denklemin köklerini bulun.
3
Bulduğunuz köklerin dışbükey çokgen tanımına uyup uymadığını denetleyin. Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180∘180^\circ veya daha fazla olamaz.

Daha Fazla Pratik

İç açılarının ölçüleri aritmetik dizi oluşturan farklı dışbükey çokgenler için ortak fark ve en küçük açının sınır değerlerini belirlemeye yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Soru dış açılar üzerinden de çözülebilir. İç açılar en küçükten büyüğe doğru 120∘,125∘,…120^\circ, 125^\circ, \dots şeklinde 5∘5^\circ artarken, dış açılar en büyükten küçüğe doğru 60∘,55∘,…60^\circ, 55^\circ, \dots şeklinde 5∘5^\circ azalarak gider. Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı her zaman 360∘360^\circ olduğundan, nn terimli bu dış açılar toplamı: n2⋅[2⋅60+(n−1)⋅(−5)]=360  ⟹  5n2−125n+720=0\frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 60 + (n - 1) \cdot (-5)] = 360 \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 denklemini verir. Buradan n=9n = 9 veya n=16n = 16 bulunur. n=16n = 16 için en küçük dış açı negatif (60−15⋅5=−15∘60 - 15 \cdot 5 = -15^\circ) olamayacağından bu kök elenir ve cevap 9 olarak kalır.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünden 120∘120^\circ fazladır.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Düzgün bir çokgende bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman 180∘180^\circ dir. İç açının ölçüsü dış açının ölçüsünden 120∘120^\circ fazla olduğuna göre, dış açıya dd dersek iç açı d+120∘d + 120^\circ olur. Buradan (d+120∘)+d=180∘  ⟹  2d+120∘=180∘  ⟹  2d=60∘  ⟹  d=30∘(d + 120^\circ) + d = 180^\circ \implies 2d + 120^\circ = 180^\circ \implies 2d = 60^\circ \implies d = 30^\circ bulunur. Düzgün çokgenin kenar sayısı n=360∘dn = \frac{360^\circ}{d} formülüyle hesaplandığı için, n=360∘30∘=12n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 olarak elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 12 olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
İç açıyı ii ve dış açıyı dd olarak adlandırıp aralarındaki temel bağıntıyı ve soruda verilen bilgiyi denkleme dökelim.
i+d=180∘i + d = 180^\circ ve i−d=120∘i - d = 120^\circ denklemleri elde edilir.
Düzgün çokgenin bir köşesindeki iç ve dış açılar komşu bütünler açılardır (toplamları 180∘180^\circ dir) ve soruda aralarındaki farkın 120∘120^\circ olduğu belirtilmiştir.
2
Bu iki denklemi ortak çözerek dış açının (dd) değerini bulalım.
İlk denklemden ikinci denklem çıkar��ldığında (i+d)−(i−d)=180∘−120∘  ⟹  2d=60∘  ⟹  d=30∘(i + d) - (i - d) = 180^\circ - 120^\circ \implies 2d = 60^\circ \implies d = 30^\circ bulunur.
Düzgün çokgenin kenar sayısını belirleyebilmek için dış açısının ölçüsünün bulunması gerekir.
3
Düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı olan 360∘360^\circ değerini, bulduğumuz dış a��ının ölçüsüne bölerek çokgenin kenar sayısını (nn) hesaplayalım.
n=360∘30∘=12n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 elde edilir.
Düzgün çokgenlerde kenar sayısı n=360∘Dıs¸ Ac¸ın = \frac{360^\circ}{\text{Dış Açı}} formülüyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Düzgün çokgenlerde iç ve dış açılar arasındaki bütünlerlik ilişkisi ve dış açı yardımıyla kenar sayısının bulunması.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →

Bir dışbükey ABCDABCD dörtgeninde, AA ve CC köşelerine ait iç açıortayların kesişmesiyle oluşan dar açının ölçüsü 18∘18^\circ dir. BB köşesindeki iç açının ölçüsü 112∘112^\circ olduğuna göre, DD köşesindeki iç açının ölçüsünün alabileceği en küçük değer derece cinsinden kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

D köşesindeki iç açının alabileceği en küçük değer 76∘76^\circ dir.
Karşı köşelerin iç açıortayları arasındaki dar açı formülü olan θ=∣m(B^)−m(D^)∣2\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2} bağıntısı kullanıldığında, ∣112∘−m(D^)∣=36∘|112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ eşitliğine ulaşılır. Buradan m(D^)m(\widehat{D}) açısı 76∘76^\circ veya 148∘148^\circ değerlerini alabilir. Soruda bu açının alabileceği en küçük değer sorulduğundan doğru cevap 76∘76^\circ olur.

Adım Adım Çözüm

1
Açıortaylar arasındaki dar açı form��lünü yazma
Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü θ=∣m(B^)−m(D^)∣2\theta = \frac{|m(\widehat{B}) - m(\widehat{D})|}{2} bağıntısı ile bulunur.
Soruda verilen açıortaylar arası açı ilişkisini kullanarak DD açıs��na ulaşmak.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazarak denklem elde etme
18∘=∣112∘−m(D^)∣2⇒∣112∘−m(D^)∣=36∘18^\circ = \frac{|112^\circ - m(\widehat{D})|}{2} \Rightarrow |112^\circ - m(\widehat{D})| = 36^\circ denklemi elde edilir.
DD aç��sının alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek.
3
Mutlak değerli denklemi çözerek olası açı değerlerini hesaplama
Denklemin çözümü iki farklı durum üretir:
- Birinci durum: 112∘−m(D^)=36∘⇒m(D^)=76∘112^\circ - m(\widehat{D}) = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 76^\circ
- İkinci durum: m(D^)−112∘=36∘⇒m(D^)=148∘m(\widehat{D}) - 112^\circ = 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{D}) = 148^\circ
Bu iki değerden en küçük olanı 76∘76^\circ olarak bulunur.
DD açısının alabileceği en küçük değeri seçmek.

Anahtar Kavram

Bir dışbükey dörtgende karşı iki köşenin iç açıortayları arasında kalan dar açının ölçüsü, diğer iki köşenin iç açılarının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
Soru 5Soru →

Bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 33 katıdır. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1260∘1260^\circ

Cevap

İç açılarının ölçüleri toplamı 1260∘1260^\circ olan seçenektir.
Çokgenin kenar sayısı nn olmak üzere, köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülüyle hesaplanır. Soruda verilen köşegen sayısının kenar sayısının 33 katı olması durumu n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n denklemiyle ifade edilir. Buradan n−3=6n-3 = 6 ve n=9n = 9 bulunur. Dokuz kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülünden (9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köşegen sayısı ve kenar sayısı arasındaki ilişkiyi veren denklemi kurun.
Kenar sayısı nn olan bir dışbükey çokgenin köşegen sayısı n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} formülüyle bulunur. Köşegen sayısı kenar sayısının 33 katı olduğuna göre denklem: n(n−3)2=3n\frac{n(n-3)}{2} = 3n şeklindedir.
Çokgenin kenar sayısını bulmak için soruda verilen sözel ilişkiyi matematiksel bir eşitliğe dönüştürmemiz gerekir.
2
Denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını bulun.
n(n−3)2=3n⇒n(n−3)=6n\frac{n(n-3)}{2} = 3n \Rightarrow n(n-3) = 6n elde edilir. Çokgenin kenar sayısı sıfırdan büyük olacağından (n>0n > 0), eşitliğin her iki tarafını nn ile bölebiliriz. Buradan n−3=6⇒n=9n-3 = 6 \Rightarrow n = 9 (dokuzgen) bulunur.
İç açılar toplamını hesaplayabilmek için çokgenin kaç kenarlı olduğunu bilmemiz gerekir.
3
Bulunan kenar sayısını kullanarak iç açılar toplamını hesaplayın.
nn kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ formülüyle hesaplanır. n=9n=9 için bu değer: (9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^\circ = 7 \times 180^\circ = 1260^\circ olur.
Bizden istenen çokgenin iç açılarının toplam derecesini bulmaktır.

Anahtar Kavram

Dışbükey çokgenlerde köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} ve iç açıların ölçüleri toplamı formülü (n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ arasındaki ilişkidir.
Çokgenler ve Genel Dörtgenler Alıştırma Soruları — ALES | Examkin