Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSilindir

Dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta bloktan, tabanları silindirin tabanlarıyla çakışacak şekilde yerleştirilebilecek en büyük hacimli kare dik prizma oyularak çıkarılıyor.

Buna göre, geriye kalan tahta kısmın hacminin, oyularak çıkarılan prizmanın hacmine oranı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. π−22\frac{\pi - 2}{2}Cevap
  2. B
    π−2\pi - 2
  3. C
    π−12\frac{\pi - 1}{2}
  4. D
    π−1\pi - 1
  5. E
    π−33\frac{\pi - 3}{3}

Cevap

Kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranı π−22\frac{\pi - 2}{2}'dir.
Doğru cevap olan π−22\frac{\pi - 2}{2} ifadesi, silindirin hacminden (πr2h\pi r^2 h) kare prizmanın en büyük hacminin (2r2h2r^2 h) çıkarılmasıyla kalan hacmin (πr2h−2r2h\pi r^2 h - 2r^2 h) prizma hacmine bölünmesiyle elde edilir. Bu oranda r2r^2 ve hh terimleri sadeleşerek geriye sadece geometrik sabitlerin oranı kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Silindir ve içine yerleştirilen kare prizmanın boyutlarını tanımlama
Silindirin taban yarıçapı rr, yüksekliği hh olsun. En büyük hacimli kare prizmanın taban köşeleri silindirin taban dairesi üzerinde olmalıdır. Dolayısıyla karenin köşegen uzunluğu, dairenin çapı olan 2r2r olur.
Silindir içine yerleştirilebilecek en büyük kare prizmanın taban alanını maksimum yapmak için köşegen dairenin çapı olmalıdır.
2
Kare prizmanın taban alanını ve hacmini hesaplama
Köşegeni e=2re = 2r olan karenin alanı: Akare=e22=(2r)22=2r2A_{\text{kare}} = \frac{e^2}{2} = \frac{(2r)^2}{2} = 2r^2 olur. Kare prizmanın hacmi: Vprizma=Akare×h=2r2hV_{\text{prizma}} = A_{\text{kare}} \times h = 2r^2 h olarak bulunur.
Prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarp��mına eşittir.
3
Silindirin hacmini hesaplama
Dik dairesel silindirin hacmi: Vsilindir=πr2hV_{\text{silindir}} = \pi r^2 h olur.
Silindirin hacmi, taban dairesinin alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır.
4
Geriye kalan tahta kısmın hacmini hesaplama
Vkalan=Vsilindir−Vprizma=πr2h−2r2h=(π−2)r2hV_{\text{kalan}} = V_{\text{silindir}} - V_{\text{prizma}} = \pi r^2 h - 2r^2 h = (\pi - 2)r^2 h olur.
Kalan tahta kısım, silindirin toplam hacminden oyulan prizmanın hacmi çıkarılarak bulunur.
5
Kalan hacmi prizmanın hacmine oranlama
Oran = VkalanVprizma=(π−2)r2h2r2h=π−22\frac{V_{\text{kalan}}}{V_{\text{prizma}}} = \frac{(\pi - 2)r^2 h}{2r^2 h} = \frac{\pi - 2}{2} bulunur.
Soruda istenen kalan kısmın hacminin prizmanın hacmine oranıdır.

Anahtar Kavram

Bir dik dairesel silindirin hacmi (V=πr2hV = \pi r^2 h) ve içine çizilen en büyük kare dik prizmanın taban alanı ile hacim ilişkisi.

İpuçları

1
Silindirin taban dairesinin içine çizilebilecek en büyük karenin köşegeninin neye eşit olduğunu düşünün.
2
En büyük karenin köşegeni dairenin çapına (2r2r) eşittir. Bu karenin alanını köşegen uzunluğu cinsinden d22\frac{d^2}{2} formülüyle hesaplayabilirsiniz.
3
Prizmanın hacmini 2r2h2r^2 h, silindirin hacmini πr2h\pi r^2 h olarak yazdıktan sonra kalan hacmi bulun ve prizma hacmine oranlayarak sadeleştirin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir dik dairesel silindirin içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli düzgün altıgen dik prizma çıkarılsaydı kalan hacmin prizmanın hacmine oranı ne olurdu? Bunu hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Oran hesabı yapıldığı için silindirin yarıçapını r=1r = 1 ve yüksekliğini h=1h = 1 kabul edebiliriz. Bu durumda silindirin hacmi π\pi, taban köşegeni 22 olan karenin alanı 222=2\frac{2^2}{2} = 2 ve prizmanın hacmi 22 olur. Kalan tahtanın hacmi π−2\pi - 2 olurken, bunun prizmanın hacmine oranı π−22\frac{\pi - 2}{2} olarak kolayca hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Silindir

Bu konudan daha fazla soru