Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları sırasıyla 12\text{ cm}^2, 15\text… — ALES

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları sırasıyla $12\text{ cm}^2$ , $15\text{ cm}^2$ ve $20\text{ cm}^2$ olarak verilmiştir.

Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç $\text{cm}^3$ tür?

Dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 santimetreküptür.

Prizmanın farklı ayrıtları

a

b

c

olmak üzere, hacmi

V = a \cdot b \cdot c

formülüyle hesaplanır. Farklı üç yüzünün alanları

a \cdot b = 12

b \cdot c = 15

a \cdot c = 20

olarak verildiğine göre, bu alanların çarpımı

a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 12 \cdot 15 \cdot 20 = 3600

olur. Buradan karekök alındığında hacim

a \cdot b \cdot c = 60\text{ cm}^3

olarak bulunur. Alternatif olarak, çarpımları bu alanları veren pozitif tam sayı ayrıtlar

a=4

b=3

c=5

olarak tahmin edilerek de

3 \cdot 4 \cdot 5 = 60

sonucuna hızlıca ulaşılabilir.

Dikdörtgenler prizmasının farklı üç ayrıt uzunluğunu

a

b

c

olarak belirleyip, verilen alanları ayrıtlar cinsinden yazalım.

a \cdot b = 12

b \cdot c = 15

a \cdot c = 20

denklemleri elde edilir.

Dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları, komşu ikişer ayrıtının çarpımına eşittir.

Elde edilen bu üç denklemi taraf tarafa çarpalım.

(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 12 \cdot 15 \cdot 20 \implies a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 3600

olur.

Ayrıtların çarpımının karesini elde ederek doğrudan hacim formülüne ulaşmak amaçlanır.

Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alarak hacmi (

V = a \cdot b \cdot c

) hesaplayalım.

a \cdot b \cdot c = \sqrt{3600} = 60\text{ cm}^3

bulunur.

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, farklı üç ayrıt uzunluğunun çarpımına eşittir.

Dikdörtgenler prizmasının farklı yüzlerinin alanları ile hacmi arasındaki ilişki (

V^2 = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3

)

Soru