Examkin

Dikdörtgenler Prizması

8 soru

Soru 1Soru →

Ayrıt uzunlukları 3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm} olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kapalı bir hediye kutusunun içerisine konulabilecek en uzun düz çubuğun boyu en fazla kaç santimetre olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun düz çubuğun boyu en fazla 13 santimetre olabilir.
Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun düz çubuğun uzunluğu, bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenine eşittir. Ayrıt uzunlukları a=3 cma=3\text{ cm}, b=4 cmb=4\text{ cm} ve c=12 cmc=12\text{ cm} olan prizmanın cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} bağıntısıyla hesaplanır. Buradan d=32+42+122=9+16+144=169=13 cmd = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm} bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 13'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Kutunun içerisine yerleştirilebilecek en uzun çubuğun prizmanın cisim köşegeni olduğunu belirlemek.
Cisim köşegeni formülü: d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
Bir prizma içine yerleştirilebilecek en uzun doğru parçası, prizmanın en uzak iki köşesini birleştiren cisim köşegenidir.
2
Verilen ayrıt uzunluklarını (3 cm3\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 12 cm12\text{ cm}) formülde yerine yazarak karelerini toplamak.
d2=32+42+122=9+16+144=169d^2 = 3^2 + 4^2 + 12^2 = 9 + 16 + 144 = 169
Cisim köşegeninin uzunluğunu bulmak için üç boyuttaki Pisagor teoremi uygulanır.
3
Elde edilen toplamın karekökünü alarak cisim köşegeni uzunluğunu bulmak.
d=169=13 cmd = \sqrt{169} = 13\text{ cm}
Karesi 169 olan uzunluk değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler Prizmasının Cisim Köşegeni
Soru 2Soru →

Boyutları 22, 33 ve 55 sayıları ile doğru orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı 248 cm2248\text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240240

Cevap

Prizmanın hacmi 240 cm3240\text{ cm}^3 tür.
Boyutları 2k2k, 3k3k ve 5k5k olan prizmanın yüzey alanı 2(6k2+15k2+10k2)=62k2=248 cm22(6k^2 + 15k^2 + 10k^2) = 62k^2 = 248\text{ cm}^2 denklemiyle bulunur. Buradan k2=4k^2 = 4 ve k=2k = 2 elde edilir. Prizmanın boyutları 4 cm4\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} ve 10 cm10\text{ cm} olup, hacmi bu değerlerin çarpımı olan 240 cm3240\text{ cm}^3 tür.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın boyutlarını orantı sabiti (kk) cinsinden yazma
Boyutlar 2k2k, 3k3k ve 5k5k olarak ifade edilir.
Boyutların 22, 33 ve 55 sayıları ile doğru orantılı olduğu verilmiştir.
2
Y��zey alanı formülünü kullanarak orantı sabitini (kk) bulma
2(2k⋅3k+3k⋅5k+2k⋅5k)=248  ⟹  2(6k2+15k2+10k2)=248  ⟹  62k2=248  ⟹  k2=4  ⟹  k=22(2k \cdot 3k + 3k \cdot 5k + 2k \cdot 5k) = 248 \implies 2(6k^2 + 15k^2 + 10k^2) = 248 \implies 62k^2 = 248 \implies k^2 = 4 \implies k = 2 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanı, farklı yüzlerinin alanları toplamının iki katıdır.
3
Prizmanın gerçek boyutlarını ve hacmini hesaplama
Boyutlar: 2(2)=4 cm2(2) = 4\text{ cm}, 3(2)=6 cm3(2) = 6\text{ cm} ve 5(2)=10 cm5(2) = 10\text{ cm} olur. Hacim: V=4×6×10=240 cm3V = 4 \times 6 \times 10 = 240\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Prizmanın hacmi, farklı üç boyutunun çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı ve hacim hesaplamaları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir hediye kutusunun cisim köşegeninin uzunluğu 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} dir.

Bu kutunun farklı üç yüzünün alanları toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olduğuna göre, kutunun hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

Prizmanın hacmi 24 santimetreküptür.
Doğru seçenekteki 24 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 2 cm, 3 cm ve 4 cm olması durumunda elde edilir. Bu ayrıtlar için cisim köşegeni 22+32+42=29\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29} cm ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 2⋅3+3⋅4+2⋅4=262\cdot3 + 3\cdot4 + 2\cdot4 = 26 cm2\text{cm}^2 koşullarını sağlar. Dolayısıyla hacim 2⋅3⋅4=242 \cdot 3 \cdot 4 = 24 cm3\text{cm}^3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Prizmanın ayrıt uzunluklarına aa, bb ve cc diyerek verilen cisim köşegeni uzunluğundan bir denklem elde edelim.
a2+b2+c2=29a^2 + b^2 + c^2 = 29 olur.
Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} şeklindedir. Cisim köşegeni 29 cm\sqrt{29}\text{ cm} verildiğinden kareler toplamı 29'dur.
2
Prizmanın farklı üç yüzünün alanları toplamını veren denklemi yazalım.
ab+bc+ac=26ab + bc + ac = 26 olur.
Prizmanın farklı üç yüzün��n alanları sırasıyla abab, bcbc ve acac olup, bu alanların toplamı 26 cm226\text{ cm}^2 olarak verilmiştir.
3
Ayrıtların toplamını bulmak için (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac) özdeşliğini kullanalım.
(a+b+c)2=29+2(26)=81  ⟹  a+b+c=9(a+b+c)^2 = 29 + 2(26) = 81 \implies a+b+c = 9 bulunur.
Ayrıtlar pozitif uzunluklar olduğundan toplamları pozitif bir değer olan 9 olmalıdır.
4
Toplamları 9, kareleri toplamı 29 ve ikişerli çarpımlarının toplamı 26 olan pozitif tam sayıları deneme yoluyla belirleyelim.
a=2a=2, b=3b=3 ve c=4c=4 değerleri tüm koşulları sağlar.
Ayrıtlar birer tam sayı olduğundan, bu denklemleri sağlayan tek pozitif tam sayı grubu {2,3,4}\{2, 3, 4\}'tür.
5
Belirlediğimiz ayrıt uzunluklarını çarparak prizmanın hacmini hesaplayalım.
V=2⋅3⋅4=24 cm3V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\text{ cm}^3 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, yüzey alanları ve hacim ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm4\text{ cm} olan küp şeklindeki tahta bir blok, tabanına paralel bir düzlemle tam ortasından kesilerek iki eş dikdörtgenler prizması elde ediliyor. Buna göre, elde edilen prizmalardan birinin cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

66 değerini içeren seçenektir.
Küpün tabanına paralel olarak tam ortasından kesilmesiyle oluşan prizmanın ayrıtları 4 cm4\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 2 cm2\text{ cm}'dir. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni formülü d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} olduğundan, bu prizmanın cisim köşegeni d=42+42+22=36=6 cmd = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} olarak hesaplanır. Bu nedenle 66 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Küpün kesilmesiyle oluşan prizmanın boyutlarını belirleyin.
Prizmanın ayrıtları 4 cm4\text{ cm}, 4 cm4\text{ cm} ve 2 cm2\text{ cm} olur.
Küp tabanına paralel bir düzlemle ortadan kesildiğinde, taban ayrıtları (4 cm4\text{ cm} ve 4 cm4\text{ cm}) değişmezken yükseklik yarıya iner (4/2=2 cm4 / 2 = 2\text{ cm}).
2
Oluşan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenini hesaplayın.
d=6 cmd = 6\text{ cm}
Prizmanın cisim köşegeni d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} formülüyle hesaplanır. Burada a=4a=4, b=4b=4 ve c=2c=2 değerleri yerine yazılarak d=42+42+22=16+16+4=36=6 cmd = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\text{ cm} elde edilir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında cisim köşegeni, prizmanın farklı üç ayrıtının karelerinin toplamının kareköküne eşittir.
Soru 5Soru →

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 96 cm396\text{ cm}^3 ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 76 cm276\text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2262\sqrt{26}

Cevap

Cisim köşegeninin uzunluğu 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olan seçenektir.
Prizmanın hacmi ve farklı yüzlerinin alanları toplamı kullanılarak ayrıt uzunlukları 2 cm2\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olarak elde edilir. Bu ayrıt uzunluklarına göre cisim köşegeni formülü uygulandığında doğru uzunluk 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen hacim ve alan denklemlerini ayrıt uzunlukları cinsinden yazın.
a⋅b⋅c=96a \cdot b \cdot c = 96 ve a⋅b+b⋅c+a⋅c=76a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c = 76 denklemleri elde edilir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına, farklı üç yüzünün alanları toplamı ise ikişerli çarpımlarının toplamına eşittir.
2
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olmasından yararlanarak olası a,b,ca, b, c değerlerini belirleyin.
a≤b≤ca \le b \le c kabul edilirse, en küçük ayrıt olan aa değeri 9696 sayısının bir böleni olmalıdır. a=1,2,3,4a=1, 2, 3, 4 durumları incelendiğinde sadece a=2a=2 için b+c=14b+c=14 ve b⋅c=48b \cdot c=48 tam sayı çözümleri (yani 66 ve 88) elde edilir.
Soruda ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu durum olası değerleri sınırlar.
3
Bulunan ayrıt uzunlukları ile cisim köşegeni uzunluğunu hesaplayın.
Cisim köşegeni uzunluğu d=22+62+82=104=226 cmd = \sqrt{2^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}\text{ cm} olarak hesaplanır.
Bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu, üç farklı ayrıtının kareleri toplamının kareköküne eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı bileşenleri ve cisim köşegeni arasındaki ilişkiler ile tam sayı bölen analizi.

İpuçları

1
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğunu unutmayın. Hacmin bölenlerinden yola çıkarak olası ayrıtları listeleyebilirsiniz.
2
En küçük ayrıt aa olsun. a≤4a \le 4 olmalıdır çünkü a3≤a⋅b⋅c=96a^3 \le a \cdot b \cdot c = 96 bağıntısı geçerlidir.
3
a=2a=2 için b⋅c=48b \cdot c = 48 ve 2(b+c)+48=762(b+c) + 48 = 76 denklemlerini çözerek bb ve cc değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları tam sayı olan ve benzer şekilde hacim ile alan bağıntıları verilen küp veya diğer prizma sorularını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Cisim köşegeninin karesi a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) özdeşliği ile de ifade edilebilir. Tam sayı bölenlerinden a+b+c=16a+b+c = 16 olduğunu bulduktan sonra bu formülde yerine koyarak 162−2(76)=256−152=10416^2 - 2(76) = 256 - 152 = 104 bulup karekökünü alabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →

Bir kargo firması, ayrıt uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kolinin yüzeylerini kaplayacaktır. Kolinin farklı üç yüzünün köşegen uzunlukları sırasıyla d1d_1, d2d_2 ve d3d_3 metredir.

Bu köşegen uzunlukları arasında,
d12+d22=66d_1^2 + d_2^2 = 66
d22+d32=59d_2^2 + d_3^2 = 59
d12+d32=75d_1^2 + d_3^2 = 75

bağıntıları bulunduğuna göre, bu kolinin toplam yüzey alanı kaç metrekaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 94

Cevap

94 metrekare
Doğru olan seçenekteki 94 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 3, 4 ve 5 metre olarak doğru belirlenmesi ve yüzey alanı formülü olan 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) ifadesinin hatasız bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kolinin ayrıt uzunluklarını sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirleyip Pisagor bağıntısı yardımıyla yüzey köşegenlerinin karelerini yazalım.
d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2, d22=b2+c2d_2^2 = b^2 + c^2 ve d32=a2+c2d_3^2 = a^2 + c^2 bağıntıları elde edilir.
Köşegen uzunlukları ile ayrıt uzunlukları arasında ilişki kurmak için.
2
Elde edilen bu bağıntıları soruda verilen denklemlerde yerlerine yazarak üç bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturalım.
a2+2b2+c2=66a^2 + 2b^2 + c^2 = 66, a2+b2+2c2=59a^2 + b^2 + 2c^2 = 59 ve 2a2+b2+c2=752a^2 + b^2 + c^2 = 75 denklemleri elde edilir.
Ayrıtların karelerini bulmamızı sağlayacak denklem sistemini kurmak için.
3
Oluşturulan üç denklemi taraf tarafa toplayalım.
4a2+4b2+4c2=200  ⟹  a2+b2+c2=504a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 eşitliği elde edilir.
Her bir değişkenin değerine ulaşabilmek için ortak bir toplam değeri bulmak.
4
Bulunan a2+b2+c2=50a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamını, ikinci adımdaki denklemlerde tek tek çıkararak her ayrıtın karesini hesaplayalım.
b2=66−50=16b^2 = 66 - 50 = 16, c2=59−50=9c^2 = 59 - 50 = 9 ve a2=75−50=25a^2 = 75 - 50 = 25 bulunur.
Ayrıt uzunluklarının karelerini ayrı ayrı belirlemek için.
5
Ayrıt uzunlukları pozitif tam sayılar olduğundan kareköklerini alalım.
a=5a = 5 metre, b=4b = 4 metre ve c=3c = 3 metre olarak bulunur.
Yüzey alanını hesaplamak için ayrıt uzunluklarının kendilerini elde etmek.
6
Ayrıtları 3, 4 ve 5 metre olan dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanını 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) formülü ile hesaplayalım.
S=2(5⋅4+4⋅3+5⋅3)=2(20+12+15)=2⋅47=94S = 2(5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 metrekare bulunur.
Soruda istenen toplam yüzey alanı sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında yüzey köşegenleri ve Pisagor bağıntısının uygulanması, prizmanın toplam yüzey alanı formülü

Alternatif Yöntem

Verilen denklem sisteminde d12d_1^2, d22d_2^2 ve d32d_3^2 ifadelerinin toplamının 2(a2+b2+c2)2(a^2 + b^2 + c^2) değerine eşit olduğu görülebilir. Buradan 2(a2+b2+c2)=66+59+75=200  ⟹  a2+b2+c2=502(a^2 + b^2 + c^2) = 66 + 59 + 75 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamına daha hızlı ulaşılarak ayrıtlar sırasıyla a2=50−(b2+c2)=50−25=25  ⟹  a=5a^2 = 50 - (b^2+c^2) = 50 - 25 = 25 \implies a=5 şeklinde doğrudan belirlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 7Soru →

Ayrıt uzunlukları birbirinden farklı pozitif tam sayılar olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, sayısal olarak toplam yüzey alanına eşittir. Bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 288

Cevap

Prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer 288'dir.
Verilen koşullara uyan ve cisim köşegeni tam sayı olan iki farklı prizma mevcuttur. Bunlardan ilki 4,5,204, 5, 20 boyutlarında olup hacmi 400400 birimküptür. İkincisi ise 4,6,124, 6, 12 boyutlarında olup hacmi 288288 birimküptür. Bu değerler arasından en küçüğü olan 288288 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Prizman��n ayrıt uzunluklarına aa, bb ve cc diyelim (a<b<ca < b < c). Soruda verilen hacmin yüzey alanına sayısal eşitliğini denklem haline getirelim.
a⋅b⋅c=2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)a \cdot b \cdot c = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) elde edilir.
Hacim formülü V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c ve yüzey alanı formülü A=2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)A = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) olduğu için.
2
Denklemin her iki tarafını a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesine bölerek sadeleştirelim.
1a+1b+1c=12\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemi elde edilir.
Tam sayı çözümlerini daha kolay sınırlandırmak ve analiz etmek için.
3
a<b<ca < b < c sıralaması altında denklemi sağlayan pozitif tam sayı üçlülerini belirleyelim.
a≥3a \geq 3 olmalıdır. Bu koşullara uygun tüm (a,b,c)(a, b, c) üçlüleri: {3,7,42}\{3, 7, 42\}, {3,8,24}\{3, 8, 24\}, {3,9,18}\{3, 9, 18\}, {3,10,15}\{3, 10, 15\}, {4,5,20}\{4, 5, 20\} ve {4,6,12}\{4, 6, 12\} olarak bulunur.
Sınırlı sayıdaki Diophantus denklemi çözümlerini bulmak için.
4
Aday üçlülerin her biri için cisim köşegeninin uzunluğunu (d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) hesaplayarak tam sayı olup olmadıklarını inceleyelim.
42+52+202=441=21\sqrt{4^2 + 5^2 + 20^2} = \sqrt{441} = 21 (tam sayı) ve 42+62+122=196=14\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{196} = 14 (tam sayı) bulunur. Diğer durumlar tam sayı sonuç vermez.
Cisim köşegeninin uzunluğunun bir tam sayı olması koşulunu test etmek için.
5
Koşulları sağlayan iki prizmanın hacimlerini karşılaştırarak en küçük olanını seçelim.
Boyutları 4,5,204, 5, 20 olan prizmanın hacmi 4×5×20=4004 \times 5 \times 20 = 400, boyutları 4,6,124, 6, 12 olan prizmanın hacmi ise 4×6×12=2884 \times 6 \times 12 = 288 birimküptür. En küçük hacim 288288 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük hacim değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni bağıntılarının sayı teorisi ile sentezi
Soru 8Soru →

Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları sırasıyla 12 cm212\text{ cm}^2, 15 cm215\text{ cm}^2 ve 20 cm220\text{ cm}^2 olarak verilmiştir.

Buna göre, bu prizmanın hacmi kaç cm3\text{cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Dikdörtgenler prizmasının hacmi 60 santimetreküptür.
Prizmanın farklı ayrıtları aa, bb ve cc olmak üzere, hacmi V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c formülüyle hesaplanır. Farklı üç yüzünün alanları a⋅b=12a \cdot b = 12, b⋅c=15b \cdot c = 15 ve a⋅c=20a \cdot c = 20 olarak verildiğine göre, bu alanların çarpımı a2⋅b2⋅c2=12⋅15⋅20=3600a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 12 \cdot 15 \cdot 20 = 3600 olur. Buradan karekök alındığında hacim a⋅b⋅c=60 cm3a \cdot b \cdot c = 60\text{ cm}^3 olarak bulunur. Alternatif olarak, çarpımları bu alanları veren pozitif tam sayı ayrıtlar a=4a=4, b=3b=3 ve c=5c=5 olarak tahmin edilerek de 3⋅4⋅5=603 \cdot 4 \cdot 5 = 60 sonucuna hızlıca ulaşılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenler prizmasının farklı üç ayrıt uzunluğunu aa, bb ve cc olarak belirleyip, verilen alanları ayrıtlar cinsinden yazalım.
a⋅b=12a \cdot b = 12, b⋅c=15b \cdot c = 15 ve a⋅c=20a \cdot c = 20 denklemleri elde edilir.
Dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları, komşu ikişer ayrıtının çarpımına eşittir.
2
Elde edilen bu üç denklemi taraf tarafa çarpalım.
(a⋅b)⋅(b⋅c)⋅(a⋅c)=12⋅15⋅20  ⟹  a2⋅b2⋅c2=3600(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 12 \cdot 15 \cdot 20 \implies a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 3600 olur.
Ayrıtların çarpımının karesini elde ederek doğrudan hacim formülüne ulaşmak amaçlanır.
3
Eşitliğin her iki tarafının karekökünü alarak hacmi (V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c) hesaplayalım.
a⋅b⋅c=3600=60 cm3a \cdot b \cdot c = \sqrt{3600} = 60\text{ cm}^3 bulunur.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, farklı üç ayrıt uzunluğunun çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının farklı yüzlerinin alanları ile hacmi arasındaki ilişki (V2=A1⋅A2⋅A3V^2 = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3)
Dikdörtgenler Prizması Alıştırma Soruları — ALES | Examkin