Examkin

Soru

Zorluk: ZorDikdörtgenler Prizması

Ayrıt uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 96 cm396\text{ cm}^3 ve farklı üç yüzünün alanları toplamı 76 cm276\text{ cm}^2 dir. Buna göre, bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir?

  1. 2262\sqrt{26}Cevap
  2. B
    2412\sqrt{41}
  3. C
    89\sqrt{89}
  4. D
    1010
  5. E
    656\sqrt{5}

Cevap

Cisim köşegeninin uzunluğu 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olan seçenektir.
Prizmanın hacmi ve farklı yüzlerinin alanları toplamı kullanılarak ayrıt uzunlukları 2 cm2\text{ cm}, 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olarak elde edilir. Bu ayrıt uzunluklarına göre cisim köşegeni formülü uygulandığında doğru uzunluk 226 cm2\sqrt{26}\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen hacim ve alan denklemlerini ayrıt uzunlukları cinsinden yazın.
a⋅b⋅c=96a \cdot b \cdot c = 96 ve a⋅b+b⋅c+a⋅c=76a \cdot b + b \cdot c + a \cdot c = 76 denklemleri elde edilir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi üç farklı ayrıtının çarpımına, farklı üç yüzünün alanları toplamı ise ikişerli çarpımlarının toplamına eşittir.
2
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olmasından yararlanarak olası a,b,ca, b, c değerlerini belirleyin.
a≤b≤ca \le b \le c kabul edilirse, en küçük ayrıt olan aa değeri 9696 sayısının bir böleni olmalıdır. a=1,2,3,4a=1, 2, 3, 4 durumları incelendiğinde sadece a=2a=2 için b+c=14b+c=14 ve b⋅c=48b \cdot c=48 tam sayı çözümleri (yani 66 ve 88) elde edilir.
Soruda ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğu belirtilmiştir, bu durum olası değerleri sınırlar.
3
Bulunan ayrıt uzunlukları ile cisim köşegeni uzunluğunu hesaplayın.
Cisim köşegeni uzunluğu d=22+62+82=104=226 cmd = \sqrt{2^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}\text{ cm} olarak hesaplanır.
Bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu, üç farklı ayrıtının kareleri toplamının kareköküne eşittir.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı bileşenleri ve cisim köşegeni arasındaki ilişkiler ile tam sayı bölen analizi.

İpuçları

1
Ayrıt uzunluklarının tam sayı olduğunu unutmayın. Hacmin bölenlerinden yola çıkarak olası ayrıtları listeleyebilirsiniz.
2
En küçük ayrıt aa olsun. a≤4a \le 4 olmalıdır çünkü a3≤a⋅b⋅c=96a^3 \le a \cdot b \cdot c = 96 bağıntısı geçerlidir.
3
a=2a=2 için b⋅c=48b \cdot c = 48 ve 2(b+c)+48=762(b+c) + 48 = 76 denklemlerini çözerek bb ve cc değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Ayrıtları tam sayı olan ve benzer şekilde hacim ile alan bağıntıları verilen küp veya diğer prizma sorularını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Cisim köşegeninin karesi a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ac)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ac) özdeşliği ile de ifade edilebilir. Tam sayı bölenlerinden a+b+c=16a+b+c = 16 olduğunu bulduktan sonra bu formülde yerine koyarak 162−2(76)=256−152=10416^2 - 2(76) = 256 - 152 = 104 bulup karekökünü alabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dikdörtgenler Prizması

Bu konudan daha fazla soru