Examkin

Soru

Zorluk: ZorTemel Kavramlar
aa, bb ve cc pozitif tam sayılar olmak üzere,
a+bc=13a + \frac{b}{c} = 13
b+ac=17b + \frac{a}{c} = 17
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    22
  2. B
    30
  3. 52Cevap
  4. D
    45
  5. E
    77

Cevap

İki farklı durumdan elde edilen toplamlar��n değeri olan 52'dir.
Verilen denklem sisteminden a−ba-b farkı çekildiğinde, cc değerinin pozitif tam sayı olabilmesi için sadece iki geçerli durum (c=2c=2 ve c=5c=5) olduğu görülür. Bu durumlardan elde edilen a+b+ca+b+c toplamları sırasıyla 22 ve 30 olup, bunların toplamı 52 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak terimleri gruplandırın.
a−b+b−ac=−4⇒(a−b)(1−1c)=−4⇒(a−b)(c−1)=−4ca - b + \frac{b - a}{c} = -4 \Rightarrow (a - b)\left(1 - \frac{1}{c}\right) = -4 \Rightarrow (a - b)(c - 1) = -4c elde edilir.
Değişkenler arasındaki farkı ve bölme ilişkisini tek bir denklemde birleştirmek için.
2
a−b=ka - b = k diyerek cc değişkenini kk cinsinden ifade edin.
k(c−1)=−4c⇒c(k+4)=k⇒c=kk+4k(c - 1) = -4c \Rightarrow c(k + 4) = k \Rightarrow c = \frac{k}{k + 4} elde edilir. Burada cc pozitif tam sayı olduğundan k<−4k < -4 olmalıdır. Buradan c=1−4k+4c = 1 - \frac{4}{k + 4} şeklinde yazılabilir.
cc ifadesinin tam sayı olma koşullarını belirlemek için parçalama yöntemi uygulamak gerekir.
3
cc ifadesinin pozitif tam sayı olabilmesi için k+4k + 4 ifadesinin 4'ün negatif bölenleri olmasını inceleyin.
k+4k + 4 ifadesi −1,−2-1, -2 veya −4-4 olabilir. Bu durumlarda sırasıyla c=5c = 5, c=3c = 3 ve c=2c = 2 değerleri bulunur.
Bölen analizini tamamlayıp olası tüm cc değerlerini tespit etmek için.
4
Bulunan cc değerlerini ana denklemlerde yerine yazarak aa ve bb değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol edin.
c=2c = 2 için a=6,b=14a = 6, b = 14 (uygun); c=5c = 5 için a=10,b=15a = 10, b = 15 (uygun); c=3c = 3 için a=8,25a = 8,25 (tam sayı değil, uygun değil).
Tanım kümesi olan pozitif tam sayılar koşulunun sağlanıp sağlanmadığını doğrulamak için.
5
Uygun olan durumlardan elde edilen a+b+ca + b + c değerlerini bulup toplayın.
c=2c = 2 için 6+14+2=226 + 14 + 2 = 22 ve c=5c = 5 için 10+15+5=3010 + 15 + 5 = 30 olur. Toplamları 22+30=5222 + 30 = 52 bulunur.
Soruda istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ifadeler içeren denklem sistemlerinde değer analizi ve tam sayı kısıtlamaları.

İpuçları

1
İki denklemi taraf tarafa çıkararak a−ba-b ortak parantezine almayı deneyin.
2
(a−b)(c−1)=−4c(a-b)(c-1) = -4c eşitliğini elde ettikten sonra cc ifadesini yalnız bırakın ve tam sayı bölen analizi yapın.
3
cc için bulduğunuz her değerin (2,3,52, 3, 5) aa ve bb sayılarını pozitif tam sayı yapıp yapmadığını tek tek kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla çalışan fakat çarpım durumunda verilen temel kavramlar sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemleri cc paydasıyla genişleterek ac+b=13cac + b = 13c ve bc+a=17cbc + a = 17c yazdıktan sonra, taraf tarafa toplama ve çıkarma işlemleriyle a+ba+b ve a−ba-b ifadelerini cc cinsinden bulup tam bölünebilme kurallarına göre inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru