Bir ABCD dik yamuğunda [AB] \perp [AD], [AB] \perp [BC] ve [AD] \parallel [BC]'dir. Yamuğu… — ALES

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \perp [AD]$ , $[AB] \perp [BC]$ ve $[AD] \parallel [BC]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AD| = 3\text{ cm}$ , $|BC| = 9\text{ cm}$ ve $|AB| = 8\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dik yamuk $[CD]$ kenarı etrafında $360^\circ$ döndürüldüğünde oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

$\frac{1248}{5}$ Cevap
B
$\frac{3744}{5}$
C
$\frac{1344}{5}$
D
$312$
E
$320$

Cevap

Döner cismin hacmi

\frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

olur.

Yamuk

[CD]

kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi,

EBC

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminden,

EAD

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Bu hesaplama

\frac{1248\pi}{5}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

Yamuğun paralel olmayan kenarlarını uzatarak bir üçgene tamamlayalım.

[BA]

[CD]

kenarları uzatıldığında

E

noktasında kesişir.

AD \parallel BC

olduğundan

EAD

EBC

üçgenleri benzerdir.

Dönme eksenini ve sınırları belirlemek için yamuğu dik üçgenlere tamamlamak kolaylık sağlar.

Benzerlik oranını kullanarak uzatılan parçaların uzunluklarını bulalım.

Benzerlik oranı

\frac{|AD|}{|BC|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|EA|}{|EA| + 8} = \frac{1}{3} \implies |EA| = 4\text{ cm}

|EB| = 12\text{ cm}

bulunur.

Dönecek dik üçgenlerin kenar uzunluklarını belirlemek için benzerlik kullanılır.

Üçgenlerin hipotenüs uzunluklarını hesaplayalım.

EAD

dik üçgeninde

|EA|=4\text{ cm}

|AD|=3\text{ cm}

ise hipotenüs

|ED|=5\text{ cm}

olur.

EBC

dik üçgeninde

|EB|=12\text{ cm}

|BC|=9\text{ cm}

ise hipotenüs

|EC|=15\text{ cm}

olur.

Dönme ekseni üzerindeki uzunlukları belirlemek için Pisagor teoremi uygulanır.

Üçgenlerin hipotenüslerine ait yüksekliklerini (dönme yarıçaplarını) bulalım.

EAD

için yarıçap

r_1 = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm}

olur.

EBC

için yarıçap

r_2 = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm}

olur.

Hipotenüs etrafında döndürmede yarıçap, hipotenüse indirilen dikmedir.

Büyük ve k��çük üçgenlerin döndürülmesiyle oluşan çift konilerin hacimlerini hesaplayalım.

V_{EAD} = \frac{1}{3} \pi (2,4)^2 \cdot 5 = 9,6\pi = \frac{48\pi}{5}\text{ cm}^3

V_{EBC} = \frac{1}{3} \pi (7,2)^2 \cdot 15 = 259,2\pi = \frac{1296\pi}{5}\text{ cm}^3

bulunur.

Çift koni hacmi

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

formülüyle hesaplanır.

Büyük hacimden küçük hacmi çıkararak yamuğun döndürülmesiyle oluşan hacmi bulalım.

V = V_{EBC} - V_{EAD} = \frac{1296\pi}{5} - \frac{48\pi}{5} = \frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

elde edilir.

Yamuk, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla elde edildiğinden, döner cismin hacmi de bu farka eşittir.

Anahtar Kavram

Dik yamuğun eğik kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini benzer üçgenler yardımıyla bulma.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru