Katı Cisimlerde Döndürme ve Kesit Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Kısa kenar uzunluğu $3\text{ cm}$ ve uzun kenar uzunluğu $4\text{ cm}$ olan bir dikdörtgen, uzun kenarı etrafında $360^\circ$ döndürülüyor. Buna göre, oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

12

24

36

42

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Dikdörtgenin uzun kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi 36 pi santimetreküptür.

Uzun kenar (

4\text{ cm}

) etrafında döndürme yapıldığında taban yarıçapı

r = 3\text{ cm}

ve yükseklik

h = 4\text{ cm}

olan bir silindir oluşur. Silindir hacim formülü

V = \pi r^2 h

uygulandığında hacim

36\pi

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Döndürme eksenine göre oluşan geometrik cismi ve boyutlarını belirleyin.

Dikdörtgen, uzun kenarı etrafında döndürüldüğünde bir dik dairesel silindir oluşur. Döndürme ekseni olan uzun kenar silindirin yüksekliği (

h = 4\text{ cm}

), diğer kısa kenar ise taban yarıçapı (

r = 3\text{ cm}

) olur.

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle silindir elde edilir; eksen yükseklik, diğer boyut yarıçap olur.

2

Silindirin hacim formülünü uygulayın.

V = \pi r^2 h

formülünden

V = \pi \times 3^2 \times 4 = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi\text{ cm}^3

bulunur.

Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpılmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında 360 derece döndürülmesiyle dik dairesel silindir elde edilir. Silindirin hacmi

V = \pi r^2 h

formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1

Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle hangi katı cismin oluştuğunu hatırlayın.

2

Döndürme ekseni olan kenarın silindirin yüksekliği, diğer kenarın ise taban yarıçapı olacağını dikkate alın.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 2Soru →

Bir $ABCD$ dik yamuğunda $[AB] \perp [AD]$ , $[AB] \perp [BC]$ ve $[AD] \parallel [BC]$ 'dir. Yamuğun kenar uzunlukları $|AD| = 3\text{ cm}$ , $|BC| = 9\text{ cm}$ ve $|AB| = 8\text{ cm}$ olarak verilmiştir. Buna göre, bu dik yamuk $[CD]$ kenarı etrafında $360^\circ$ döndürüldüğünde oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ olur?

\frac{1248}{5}

\frac{3744}{5}

\frac{1344}{5}

312

320

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1248}{5}$

Cevap

Döner cismin hacmi

\frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

olur.

Yamuk

[CD]

kenarı etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi,

EBC

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminden,

EAD

dik üçgeninin hipotenüsü etrafında döndürülmesiyle oluşan çift koninin hacminin çıkarılmasıyla bulunur. Bu hesaplama

\frac{1248\pi}{5}

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Yamuğun paralel olmayan kenarlarını uzatarak bir üçgene tamamlayalım.

[BA]

ve

[CD]

kenarları uzatıldığında

E

noktasında kesişir.

AD \parallel BC

olduğundan

EAD

ve

EBC

üçgenleri benzerdir.

Dönme eksenini ve sınırları belirlemek için yamuğu dik üçgenlere tamamlamak kolaylık sağlar.

2

Benzerlik oranını kullanarak uzatılan parçaların uzunluklarını bulalım.

Benzerlik oranı

\frac{|AD|}{|BC|} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|EA|}{|EA| + 8} = \frac{1}{3} \implies |EA| = 4\text{ cm}

ve

|EB| = 12\text{ cm}

bulunur.

Dönecek dik üçgenlerin kenar uzunluklarını belirlemek için benzerlik kullanılır.

3

Üçgenlerin hipotenüs uzunluklarını hesaplayalım.

EAD

dik üçgeninde

|EA|=4\text{ cm}

,

|AD|=3\text{ cm}

ise hipotenüs

|ED|=5\text{ cm}

olur.

EBC

dik üçgeninde

|EB|=12\text{ cm}

,

|BC|=9\text{ cm}

ise hipotenüs

|EC|=15\text{ cm}

olur.

Dönme ekseni üzerindeki uzunlukları belirlemek için Pisagor teoremi uygulanır.

4

Üçgenlerin hipotenüslerine ait yüksekliklerini (dönme yarıçaplarını) bulalım.

EAD

için yarıçap

r_1 = \frac{3 \cdot 4}{5} = 2,4\text{ cm}

olur.

EBC

için yarıçap

r_2 = \frac{9 \cdot 12}{15} = 7,2\text{ cm}

olur.

Hipotenüs etrafında döndürmede yarıçap, hipotenüse indirilen dikmedir.

5

Büyük ve k��çük üçgenlerin döndürülmesiyle oluşan çift konilerin hacimlerini hesaplayalım.

V_{EAD} = \frac{1}{3} \pi (2,4)^2 \cdot 5 = 9,6\pi = \frac{48\pi}{5}\text{ cm}^3

ve

V_{EBC} = \frac{1}{3} \pi (7,2)^2 \cdot 15 = 259,2\pi = \frac{1296\pi}{5}\text{ cm}^3

bulunur.

Çift koni hacmi

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h

formülüyle hesaplanır.

6

Büyük hacimden küçük hacmi çıkararak yamuğun döndürülmesiyle oluşan hacmi bulalım.

V = V_{EBC} - V_{EAD} = \frac{1296\pi}{5} - \frac{48\pi}{5} = \frac{1248\pi}{5}\text{ cm}^3

elde edilir.

Yamuk, büyük üçgenden küçük üçgenin çıkarılmasıyla elde edildiğinden, döner cismin hacmi de bu farka eşittir.

Anahtar Kavram

Dik yamuğun eğik kenarı etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini benzer üçgenler yardımıyla bulma.

Soru 3Soru →

Yarıçapı $5\text{ cm}$ ve yüksekliği $12\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir tahta blok, taban merkezinden $3\text{ cm}$ uzaklıkta ve tabanına dik bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen arakesit yüzeyinin alanı kaç $\text{cm}^2$ dir?

48

60

72

96

120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

96 (Arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm²)

Silindiri tabanına dik bir düzlemle kestiğimizde elde edilen arakesit bir dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin yüksekliği silindirin yüksekliği olan 12 cm'dir. Dikdörtgenin genişliği ise silindirin dairesel tabanında, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin uzunluğuna eşittir. Yarıçapı 5 cm olan dairede, merkezden 3 cm uzaklıktaki kirişin merkezden çizilen dikmeyle iki eş parçaya bölündüğünü biliyoruz. Oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısı yardımıyla yarım kiriş uzunluğu 4 cm olarak bulunur. Kirişin toplam uzunluğu ise 8 cm olur. Dolayısıyla, arakesit alanını veren dikdörtgenin alanı 8 x 12 = 96 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Arakesitin geometrik şeklini belirleme.

Arakesit, yüksekliği silindirin yüksekliği (12 cm) ve taban genişliği dairesel tabandaki kirişin uzunluğu olan bir dikdörtgendir.

Silindirin tabanlarına dik düzlemlerle kesilmesiyle oluşan kesitler dikdörtgen olur.

2

Taban dairesindeki kirişin uzunluğunu Pisagor bağıntısı kullanarak hesaplama.

Kirişin yarı uzunluğu 4 cm, tamamı 2 x 4 = 8 cm'dir.

Merkezden 3 cm uzaklıktaki kiriş için dik üçgen oluşturulduğunda yarıçap hipotenüs (5 cm), dik kenarlardan biri uzaklık (3 cm) ve diğeri yarım kiriş uzunluğudur. 3-4-5 özel üçgeninden yarım kiriş 4 cm bulunur.

3

Arakesit dikdörtgeninin alanını hesaplama.

Alan = 8 x 12 = 96 cm² olur.

Dikdörtgenin alanı, iki farklı kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.

Anahtar Kavram

Silindirin tabana dik düzlemle kesilmesiyle oluşan dikdörtgen arakesit alanı ve çemberde kiriş özellikleri.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Yarıçapı $10\text{ cm}$ olan bir küre, merkezinden $6\text{ cm}$ uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan dairesel kesitin alanı kaç $\pi\text{ cm}^2$ 'dir?

16

36

64

100

136

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 64

Cevap

Oluşan dairesel kesitin alanı

64\pi\text{ cm}^2

olduğundan doğru cevap 64'tür.

Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende hipotenüs kürenin yarıçapı (

10\text{ cm}

), dik kenarlardan biri merkeze olan uzaklık (

6\text{ cm}

) ve diğer dik kenar kesit dairesinin yarıçapıdır (

r

). Pisagor bağıntısına göre

r^2 + 6^2 = 10^2

den

r = 8\text{ cm}

elde edilir. Dairenin alan formülü olan

\pi r^2

uygulandığında kesitin alanı

64\pi\text{ cm}^2

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kürenin merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki ilişkiyi kurma.

Küre merkezi

O

, kesit dairesinin merkezi

M

ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta

P

olsun.

OMP

bir dik üçgendir.

Kürenin merkezinden kesit düzlemine çizilen en kısa doğru parçası düzleme diktir.

2

Pisagor bağıntısını kullanarak kesit dairesinin yarıçapını (

r

) hesaplama.

r^2 + 6^2 = 10^2 \implies r^2 + 36 = 100 \implies r^2 = 64 \implies r = 8\text{ cm}

olarak bulunur.

Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.

3

Kesit dairesinin alanını hesaplama.

\text{Alan} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\text{ cm}^2

. Soru bizden alanın kaç

\pi

olduğunu istediği için sonuç 64'tür.

Yarıçapı

r

olan bir dairenin alanı

\pi r^2

formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir. Bu dairenin yarıçapı, kürenin yarıçapı ve kesit düzleminin küre merkezine olan uzaklığı arasında Pisagor bağıntısı kurulabilir.

Soru 5Soru →

Kenar uzunlukları $2\text{ cm}$ ve $6\text{ cm}$ olan bir dikdörtgen, uzun kenarına paralel ve bu kenara $3\text{ cm}$ uzaklıkta bulunan bir eksen etrafında $360^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan döner cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ 'tür?

150

54

96

32

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 96

Cevap

Dönme eksenine 3 cm uzaklıktaki 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan içi boş silindirin hacmi 96\pi\text{ cm}^3$'tür.

Dönme eksenine 3 cm uzaklıkta bulunan 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan cisim, dış yarıçapı 5 cm, iç yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 6 cm olan içi boş bir silindirdir. Bu cismin hacmi, dış silindirin hacminden (150\pi) iç silindirin hacmi (54\pi) çıkarılarak 96\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki mesafeden yararlanarak silindirin iç ve dış yarıçaplarını belirleyin.

İç yarıçap

r = 3\text{ cm}

, dış yarıçap

R = 3 + 2 = 5\text{ cm}

ve yükseklik

h = 6\text{ cm}

'dir.

Dikdörtgen eksenden uzakta döndürüldüğünde ortasında boşluk olan dairesel bir halka (boru şeklinde içi boş silindir) oluşur.

2

Dış silindirin hacmini formül yardımıyla hesaplayın.

V_{\text{dış}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 150\pi\text{ cm}^3

Dıştaki sınırların oluşturduğu en büyük hacmi bulmak için dış yarıçap kullanılır.

3

İçteki boş silindirin hacmini hesaplayın.

V_{\text{iç}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\text{ cm}^3

Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki boşluğun hacmini bulmak için iç yarıçap kullanılır.

4

Oluşan içi boş cismin net hacmini bulmak için dış silindirin hacminden içteki boşluğun hacmini çıkarın.

V_{\text{net}} = 150\pi - 54\pi = 96\pi\text{ cm}^3

Net hacim, toplam hacimden boşluğun hacmi çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan katı cisimlerin hacim hesabı (içi boş silindir).

İpuçları

1

Dikdörtgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle hangi geometrik cismin oluşacağını ve ortadaki boşluğun şeklini hayal edin.

2

Dönme eksenine olan en yakın mesafe içteki boş silindirin yarıçapını, en uzak mesafe ise dıştaki silindirin yarıçapını belirler.

3

Oluşan cismin hacmini bulmak için dış silindirin hacminden (

V = \pi R^2 h

) içteki boş silindirin hacmini (

V = \pi r^2 h

) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir dik yamuğun yüksekliği veya taban kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle oluşan kesik koni veya silindir-koni birleşik cisimlerinin hacmini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oluşan halkanın taban alanını (büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkararak) hesaplayıp ardından yükseklikle çarparak da hacmi bulabilirsiniz:

T_{alan} = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi

,

V = 16\pi \cdot 6 = 96\pi\text{ cm}^3

.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Dik kenar uzunlukları $|AB| = 9\text{ cm}$ ve $|BC| = 12\text{ cm}$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. Bu üçgen, $A$ köşesinden geçen ve $[BC]$ kenarına paralel olan bir $d$ doğrusu etrafında $360^\circ$ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan dönel cismin hacmi kaç $\pi\text{ cm}^3$ tür?

324\pi

432\pi

486\pi

648\pi

972\pi

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $648\pi$

Cevap

Oluşan dönel cismin hacmi

648\pi\text{ cm}^3

tür.

Üçgenin döndürülmesiyle elde edilen cisim, yarıçapı

9\text{ cm}

ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan bir silindirin içinden aynı boyutlardaki bir koninin çıkarılmasıyla oluşur. Silindirin hacmi

972\pi\text{ cm}^3

, koninin hacmi ise

324\pi\text{ cm}^3

olduğundan, aradaki fark

648\pi\text{ cm}^3

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Döndürme eksenini ve üçgenin konumunu belirleyin.

d

doğrusu

[BC]

'ye paralel ve

A

'dan geçtiği için,

[AB] \perp d

olur.

A

noktası dönme ekseni üzerinde olup yarıçapı

0

,

B

ve

C

noktalarının eksene uzaklığı (yarıçap) ise

|AB| = 9\text{ cm}

'dir.

Oluşan katı cismin boyutlarını ve sınırlarını doğru tanımlamak için.

2

Oluşan dönel cismin geometrik şeklini tanımlayın.

��çgenin

d

doğrusu etrafında döndürülmesiyle taban yarıçapı

r = 9\text{ cm}

ve yüksekliği

h = 12\text{ cm}

olan bir silindir oluşur. Ancak üçgenin hipotenüsü

[AC]

döndüğünde bu silindirin içinden taban yarıçapı

9\text{ cm}

ve yüksekliği

12\text{ cm}

olan bir koni oyulmuş olur.

Hacim hesabını hangi geometrik cisimlerin hacimleri farkı olarak yapacağımızı belirlemek için.

3

Silindir ve koninin hacimlerini hesaplayıp farkını bulun.

Silindirin hacmi:

V_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 972\pi\text{ cm}^3

. Koninin hacmi:

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = 324\pi\text{ cm}^3

. Oluşan cismin hacmi:

V = 972\pi - 324\pi = 648\pi\text{ cm}^3

.

Soruda istenen net hacim değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin bir doğru etrafında d��ndürülmesiyle oluşan katı cismin hacmi, dış sınırların oluşturduğu cismin hacminden içteki boşluğun hacmi çıkarılarak bulunur.

Tahmini Süre:2m 30s

Katı Cisimlerde Döndürme ve Kesit

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar