Examkin

Soru

Zorluk: KolayKatı Cisimlerde Döndürme ve Kesit

Yarıçapı 10 cm10\text{ cm} olan bir küre, merkezinden 6 cm6\text{ cm} uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

Buna göre, oluşan dairesel kesitin alanı kaç π cm2\pi\text{ cm}^2'dir?

  1. A
    16
  2. B
    36
  3. 64Cevap
  4. D
    100
  5. E
    136

Cevap

Oluşan dairesel kesitin alanı 64π cm264\pi\text{ cm}^2 olduğundan doğru cevap 64'tür.
Küre merkezi, kesit dairesinin merkezi ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende hipotenüs kürenin yarıçapı (10 cm10\text{ cm}), dik kenarlardan biri merkeze olan uzaklık (6 cm6\text{ cm}) ve diğer dik kenar kesit dairesinin yarıçapıdır (rr). Pisagor bağıntısına göre r2+62=102r^2 + 6^2 = 10^2 den r=8 cmr = 8\text{ cm} elde edilir. Dairenin alan formülü olan πr2\pi r^2 uygulandığında kesitin alanı 64π cm264\pi\text{ cm}^2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin merkezi ile kesit dairesinin merkezi arasındaki ilişkiyi kurma.
Küre merkezi OO, kesit dairesinin merkezi MM ve kesit dairesinin üzerindeki bir nokta PP olsun. OMPOMP bir dik üçgendir.
Kürenin merkezinden kesit düzlemine çizilen en kısa doğru parçası düzleme diktir.
2
Pisagor bağıntısını kullanarak kesit dairesinin yarıçapını (rr) hesaplama.
r2+62=102  ⟹  r2+36=100  ⟹  r2=64  ⟹  r=8 cmr^2 + 6^2 = 10^2 \implies r^2 + 36 = 100 \implies r^2 = 64 \implies r = 8\text{ cm} olarak bulunur.
Dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
3
Kesit dairesinin alanını hesaplama.
Alan=πr2=π⋅82=64π cm2\text{Alan} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\text{ cm}^2. Soru bizden alanın kaç π\pi olduğunu istediği için sonuç 64'tür.
Yarıçapı rr olan bir dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir küre bir düzlemle kesildiğinde oluşan ara kesit her zaman bir dairedir. Bu dairenin yarıçapı, kürenin yarıçapı ve kesit düzleminin küre merkezine olan uzaklığı arasında Pisagor bağıntısı kurulabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimlerde Döndürme ve Kesit

Bu konudan daha fazla soru