Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatı Cisimlerde Döndürme ve Kesit

Kenar uzunlukları 2 cm2\text{ cm} ve 6 cm6\text{ cm} olan bir dikdörtgen, uzun kenarına paralel ve bu kenara 3 cm3\text{ cm} uzaklıkta bulunan bir eksen etrafında 360∘360^\circ döndürülüyor.

Buna göre, oluşan döner cismin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3'tür?

  1. A
    150
  2. B
    54
  3. 96Cevap
  4. D
    32
  5. E
    24

Cevap

Dönme eksenine 3 cm uzaklıktaki 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan içi boş silindirin hacmi 96\pi\text{ cm}^3$'tür.
Dönme eksenine 3 cm uzaklıkta bulunan 2 cm genişliğindeki dikdörtgenin döndürülmesiyle oluşan cisim, dış yarıçapı 5 cm, iç yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 6 cm olan içi boş bir silindirdir. Bu cismin hacmi, dış silindirin hacminden (150\pi) iç silindirin hacmi (54\pi) çıkarılarak 96\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki mesafeden yararlanarak silindirin iç ve dış yarıçaplarını belirleyin.
İç yarıçap r=3 cmr = 3\text{ cm}, dış yarıçap R=3+2=5 cmR = 3 + 2 = 5\text{ cm} ve yükseklik h=6 cmh = 6\text{ cm}'dir.
Dikdörtgen eksenden uzakta döndürüldüğünde ortasında boşluk olan dairesel bir halka (boru şeklinde içi boş silindir) oluşur.
2
Dış silindirin hacmini formül yardımıyla hesaplayın.
Vdıs¸=π⋅R2⋅h=π⋅52⋅6=150π cm3V_{\text{dış}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot 5^2 \cdot 6 = 150\pi\text{ cm}^3
Dıştaki sınırların oluşturduğu en büyük hacmi bulmak için dış yarıçap kullanılır.
3
İçteki boş silindirin hacmini hesaplayın.
Vic¸=π⋅r2⋅h=π⋅32⋅6=54π cm3V_{\text{iç}} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\text{ cm}^3
Dönme ekseni ile dikdörtgen arasındaki boşluğun hacmini bulmak için iç yarıçap kullanılır.
4
Oluşan içi boş cismin net hacmini bulmak için dış silindirin hacminden içteki boşluğun hacmini çıkarın.
Vnet=150π−54π=96π cm3V_{\text{net}} = 150\pi - 54\pi = 96\pi\text{ cm}^3
Net hacim, toplam hacimden boşluğun hacmi çıkarılarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan katı cisimlerin hacim hesabı (içi boş silindir).

İpuçları

1
Dikdörtgenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle hangi geometrik cismin oluşacağını ve ortadaki boşluğun şeklini hayal edin.
2
Dönme eksenine olan en yakın mesafe içteki boş silindirin yarıçapını, en uzak mesafe ise dıştaki silindirin yarıçapını belirler.
3
Oluşan cismin hacmini bulmak için dış silindirin hacminden (V=πR2hV = \pi R^2 h) içteki boş silindirin hacmini (V=πr2hV = \pi r^2 h) çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir dik yamuğun yüksekliği veya taban kenarlarından biri etrafında döndürülmesiyle oluşan kesik koni veya silindir-koni birleşik cisimlerinin hacmini hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Oluşan halkanın taban alanını (büyük dairenin alanından küçük dairenin alanını çıkararak) hesaplayıp ardından yükseklikle çarparak da hacmi bulabilirsiniz: Talan=π(52−32)=16πT_{alan} = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi, V=16π⋅6=96π cm3V = 16\pi \cdot 6 = 96\pi\text{ cm}^3.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimlerde Döndürme ve Kesit

Bu konudan daha fazla soru