Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Kavramlar

aa ve bb pozitif tam sayılar, pp ise bir asal sayıdır.

a⋅b+2a=pa \cdot b + 2a = p

olduğuna göre,

I. aa çift sayıdır.
II. bb tek sayıdır.
III. a+ba+b çift sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
Verilen denklem a(b+2)=pa(b+2) = p şeklinde yazıldığında, a ve b pozitif tam sayı olduğu için b+2≥3b+2 \geq 3 olur. p asal sayısı sadece 1 ve kendisiyle bölünebildiğinden, 1'den büyük olan b+2b+2 çarpanı p'ye eşit olurken, a çarpanı 1 olmak zorundadır. a'nın 1 olması onun tek sayı olduğunu gösterir. p sayısı 2 olamaz çünkü p'nin 2 olması durumunda b sıfır değerini alır ve pozitif tam sayı olma şartını bozardı. Dolayısıyla p, 2 dışındaki bir tek asal sayıdır. Buradan b=p−2b = p - 2 ifadesi de tek sayıdan çift sayı çıkarıldığı için her zaman tek sayıdır. a ve b tek sayı olduğundan, toplamları olan a + b her zaman çift sayıdır. Bu çıkarımlara göre ikinci ve üçüncü öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklem ortak çarpan parantezine alınır.
a⋅(b+2)=pa \cdot (b + 2) = p
Denklemin sol tarafını çarpanlarına ayırarak asal sayı tanımını uygulamak kolaylaştırılır.
2
Değişkenlerin pozitif tam sayı olması koşulu ile asal sayı tanımı birleştirilerek analiz edilir.
a≥1a \geq 1 ve b≥1b \geq 1 olduğundan, b+2≥3b + 2 \geq 3 olur. pp asal sayısının pozitif çarpanları yalnızca 1 ve kendisi (pp) olabileceğinden, 1'den büyük olan b+2b + 2 çarpanı pp değerine eşit olmalıdır. Bu durumda diğer çarpan olan aa değeri ise kesinlikle 1 olmalıdır.
Bir asal sayının pozitif tam sayılardaki çarpanlarından biri 1, diğeri kendisidir. Çarpanlardan biri en az 3 değerini alabildiği için küçük olan çarpan 1'e eşitlenir.
3
Elde edilen a=1a = 1 ve b=p−2b = p - 2 değerlerinin teklik-çiftlik durumları incelenir.
a=1a = 1 olup tek sayıdır. pp asal sayısı 2 olamaz; çünkü p=2p = 2 olursa b+2=2  ⟹  b=0b + 2 = 2 \implies b = 0 olur ki bu durum bb'nin pozitif tam sayı olması koşuluyla çelişir. Bu sebeple pp sayısı 2 dışındaki tek asal sayılardan biri olmak zorundadır. Tek bir sayıdan çift bir sayı (22) çıkarıldığında sonuç tek olacağından b=p−2b = p - 2 her zaman tek sayıdır. Dolayısıyla II. öncül doğrudur. aa (tek) ve bb (tek) sayılarının toplamı olan a+ba + b ifadesi, iki tek sayının toplamı kuralı gereğince her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla III. öncül de doğrudur.
Öncüllerde yer alan teklik ve çiftlik ifadelerinin doğruluğunu kesinleştirmek için asal sayıların özellikleri ve tek-çift sayı kuralları uygulanır.

Anahtar Kavram

Asal sayı tanımı, çarpanlara ayırma ve tek-çift sayı özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru