Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Kavramlar
aa, bb ve cc pozitif tam sayılardır.
a2−b2=2ca^2 - b^2 = 2^c
a−b=c−3a - b = c - 3
olduğunu göre, a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    20
  3. 21Cevap
  4. D
    23
  5. E
    37

Cevap

En küçük toplam 21 değeridir.
Denklemler iki kare farkı ve üslü sayı özellikleri kullanılarak çözüldüğünde, aa ve bb tam sayılarının elde edilebilmesi için a−ba-b farkının en az 2 olması gerektiği görülür. Buradan c=5c=5 en küçük pozitif tam sayı değeri olarak bulunur ve a=9a=9, b=7b=7 değerleriyle toplam en az 21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak birinci denklemi çarpanlarına ayırın.
a2−b2=(a−b)(a+b)=2ca^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 2^c elde edilir.
Taban pozitif bir çift sayı (2) olduğundan, çarpımın elemanlarının da 2'nin kuvvetleri olması gerektiğini belirlemek için.
2
aa ve bb pozitif tam sayılar olduğundan, a−ba-b ve a+ba+b ifadelerinin her ikisinin de 2'nin tam sayı kuvveti olması gerektiğini belirleyin.
a−b=2xa-b = 2^x ve a+b=2ya+b = 2^y (x<yx < y ve x+y=cx+y=c olacak şekilde). aa ve bb'nin tam sayı olabilmesi için x≥1x \ge 1 olmalıdır.
Eğer x=0x = 0 olsaydı, a−b=1a-b = 1 olurdu ve toplamları çift olan 2y2^y ile farkları tek olan 11'in toplamı tek olacağından aa ve bb tam sayı olamazdı.
3
İkinci denklemdeki a−b=c−3a-b = c-3 eşitliğini kullanarak cc değerini xx cinsinden yazın.
2x=c−3  ⟹  c=2x+32^x = c-3 \implies c = 2^x + 3 bulunur.
Değişken sayısını azaltmak ve en küçük cc değerini bulmak için.
4
x≥1x \ge 1 koşulunu sağlayan en küçük xx değerini vererek aa, bb ve cc değerlerini hesaplayın.
x=1x=1 için c=21+3=5c = 2^1 + 3 = 5 olur. Bu durumda a−b=21=2a-b = 2^1 = 2 ve a+b=24=16a+b = 2^4 = 16 elde edilir. Buradan a=9,b=7a=9, b=7 bulunur.
aa, bb ve cc'nin pozitif tam sayı koşulunu sağlayan en küçük çözüm kümesini bulmak için.
5
Bulunan en küçük değerlerin toplamını hesaplayın.
a+b+c=9+7+5=21a+b+c = 9+7+5 = 21 bulunur. Daha büyük xx değerleri için toplam büyüyecektir.
Soruda istenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

İki kare farkı özdeşliği, üslü ifadeler ve tam sayıların teklik-çiftlik özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Kavramlar

Bu konudan daha fazla soru