Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir sinema salonunda toplu bilet almak isteyen gruplar için iki farklı indirimli paket seçeneği sunulmaktadır:

* A paketi: 1010 adet bilet içermekte olup bilet başına fiyat standart bilet fiyatından 1212 TL eksiktir.
* B paketi: 1515 adet bilet içermekte olup bilet başına fiyat standart bilet fiyatından 1515 TL eksiktir.

Bir öğrenci grubu bu sinemadan toplam 6565 adet bilet alacaktır. Bu grup; biletlerin bir kısmını A paketinden, bir kısmını B paketinden, paketlere uymayan kalan biletleri ise tek tek standart fiyattan satın alacaktır.

Grup, her iki paketten de en az birer tane satın almak zorunda olduğuna göre, bilet alımı için ödenebilecek toplam tutarın en az olması durumunda kaç adet standart bilet satın alınmış olur?

  1. A
    20
  2. B
    15
  3. C
    10
  4. D
    5
  5. 0Cevap

Cevap

En ekonomik bilet alım stratejisinde tek tek alınan standart bilet sayısı sıfır olmalıdır.
Toplam maliyeti en aza indirmek, paketlerden elde edilen toplam indirim miktarını en üst düzeye çıkarmak anlamına gelir. Denklemler kurulup incelendiğinde, en yüksek indirimin 2 adet A paketi ve 3 adet B paketi alındığında elde edildiği görülür. Bu durumda toplam 65 biletin tamamı paketlerden karşılandığı için standart bilet satın alınmamış olur (yani 0 adet).

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlama ve kısıtları belirleme
A paketi sayısı aa, B paketi sayısı bb ve standart bilet sayısı ss olsun. 10a+15b+s=6510a + 15b + s = 65 denklemi elde edilir. Burada a≥1a \ge 1, b≥1b \ge 1 ve s≥0s \ge 0 birer tam sayıdır.
Sorudaki toplam bilet sayısı ve paket sınırlandırmalarını matematiksel modele dönüştürmek için.
2
Toplam maliyet denklemini kurma
Standart bilet fiyatı PP olsun. Toplam maliyet C=10a(P−12)+15b(P−15)+sPC = 10a(P - 12) + 15b(P - 15) + sP olarak ifade edilir.
Her bir bilet türünün birim fiyatını kullanarak toplam harcamayı yazmak için.
3
Maliyet denklemini sadeleştirme
s=65−10a−15bs = 65 - 10a - 15b ifadesini maliyet denkleminde yerine yazdığımızda C=65P−120a−225bC = 65P - 120a - 225b elde edilir.
Maliyeti sadece paket adetleri (aa ve bb) cinsinden incelemek ve standart bilet fiyatı PP'den bağımsız bir optimizasyon ifadesi elde etmek için.
4
İndirim miktarını maksimize etme (Maliyeti minimize etme)
Toplam maliyeti en az yapmak için çıkarma durumundaki 120a+225b120a + 225b ifadesini en büyük yapmalıyız. K��sıtımız: 10a+15b≤6510a + 15b \le 65 (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1 tam sayılar).
Toplam indirim tutarını büyüterek net ödenecek miktarı en aza indirmek için.
5
Tam sayı değerlerini deneyerek en uygun çifti bulma
b=3b = 3 için 10a≤20⇒a≤210a \le 20 \Rightarrow a \le 2 olur. a=2a = 2 seçilirse indirim değeri 120(2)+225(3)=915120(2) + 225(3) = 915 olur. Diğer durumlar (b=2b=2 veya b=1b=1) incelendiğinde bu değerden daha küçük sonuçlar elde edilir.
Kısıtlar altındaki en büyük indirimi sağlayan (aa, bb) tam sayı ikilisini belirlemek için.
6
Standart bilet adedini hesaplama
a=2a = 2 ve b=3b = 3 için s=65−10(2)−15(3)=65−65=0s = 65 - 10(2) - 15(3) = 65 - 65 = 0 bulunur.
En ekonomik bilet alım stratejisinde kaç adet standart bilet alınması gerektiğini bulmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve kısıtlı tam sayı optimizasyonu

İpuçları

1
Toplam bilet sayısını veren denklemi yazıp standart bilet sayısını diğer değişkenler cinsinden ifade etmeyi deneyin.
2
Maliyet fonksiyonunu yazdığınızda standart bilet fiyatının (PP) optimizasyona etki etmediğini ve amacımızın indirim tutarı olan 120a+225b120a + 225b ifadesini maksimize etmek olduğunu göreceksiniz.
3
10a+15b≤6510a + 15b \le 65 kısıtı altında a≥1a \ge 1 ve b≥1b \ge 1 tam sayıları için 120a+225b120a + 225b ifadesini en büyük yapan değerleri bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalara sahip olan ve doğrusal programlama mantığı içeren diğer sayı veya kar-zarar problemlerini çözerek bu yaklaşımı pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmadan da seçeneklerdeki standart bilet sayılarını tek tek deneyerek kalan biletlerin 10 ve 15'lik paketlere en uygun nasıl dağıtılabileceğini kontrol edebilirsiniz. Örneğin 0 standart bilet için kalan 65 bilet sadece 2 adet 10'luk ve 3 adet 15'lik paketle tam olarak karşılanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru