Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar
xx, yy ve zz tam sayıları için
x⋅y+zx \cdot y + z
ifadesinin bir tek sayı,
x+y⋅zx + y \cdot z
ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. x⋅z+yx \cdot z + y
II. x⋅(y+z)x \cdot (y + z)
III. y⋅z+zy \cdot z + z

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve II numaralı ifadeler her zaman çift sayıdır.
Yapılan analiz sonucunda x sayısının çift, y sayısının çift ve z sayısının tek sayı olduğu kesinleşmiştir. Bu durumda I numaralı ifade çift sayı ile tek sayının çarpımı (çift) artı çift sayı şeklinde olduğundan çift sayı sonucunu verir. II numaralı ifade ise çift bir sayı olan x ile bir tam sayının çarpımı şeklinde olduğundan parantez içine bakılmaksızın her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
x tam sayısının tek sayı olduğunu varsayarak çelişkiyi gösterin.
Eğer x tek sayı olsaydı, x + y . z ifadesinin çift olması için y . z çarpımının tek olması, yani hem y hem de z'nin tek sayı olması gerekirdi. Ancak bu durumda x . y + z ifadesi (Tek . Tek) + Tek = Tek + Tek = Çift olurdu. Bu durum ilk ifadenin tek sayı olmasıyla çelişir.
Değişkenlerin paritelerini belirlemek için olasılıkları daraltmak ve çelişki yöntemiyle x'in paritesini kesinleştirmek gerekir.
2
x sayısının çift sayı olduğu bilgisinden yararlanarak z sayısının paritesini bulun.
x sayısı çift sayı olmak zorundadır. Bu durumda x . y çarpımı da çift sayı olur. x . y + z ifadesinin tek sayı olduğu bilindiğinden, Çift + z = Tek eşitliğinden z sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır.
Çift bir sayıyla yapılan çarpımın sonucunun daima çift olmasından yararlanarak z'nin tekliğini doğrulamak gerekir.
3
Bulunan pariteleri kullanarak y sayısının paritesini belirleyin.
x + y . z ifadesinde x çift, z tek sayıdır. Bu toplamın çift sayı olabilmesi için y . z çarpımının çift sayı olması gerekir. z tek sayı olduğundan, çarpımın çift olabilmesi için y sayısının çift sayı olması şarttır.
Toplam ve çarpım kurallarını uygulayarak y değişkeninin de çift olduğunu kesinleştirmek gerekir.
4
Elde edilen parite değerlerini (x: çift, y: çift, z: tek) öncüllerde yerine koyarak test edin.
I. x . z + y = Çift . Tek + Çift = Çift + Çift = Çift (Her zaman çift)
II. x . (y + z) = Çift . (Çift + Tek) = Çift . Tek = Çift (Her zaman çift)
III. y . z + z = Çift . Tek + Tek = Çift + Tek = Tek (Her zaman tek)
Her bir öncülün her zaman çift sayı verip vermediğini matematiksel kurallarla kontrol etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru