Tek ve Çift Sayılar Alıştırma Soruları — ALES

Sisteme girilen

x, y

ve

z

tam sayıları için

x \cdot y + y \cdot z

işleminin sonucunun bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu tam sayılarla oluşturulan aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

x + y

x + z

x \cdot y + z

x + y + z

y \cdot z + x

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + y + z$

Cevap

Değeri her zaman bir çift sayı olan ifade üç değişkenin toplamını veren ifadedir.

Verilen ifadeden ortak paranteze alma yöntemiyle ikinci değişkenin tek sayı, birinci ve üçüncü değişkenlerin toplamının ise tek sayı olduğu anlaşılır. İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, birinci ve üçüncü değişkenin toplamı ile ikinci değişkenin toplamı her zaman çift bir sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1

İfadeyi çarpanlarına ayırma

y \cdot (x + z)

ifadesi elde edilir.

Ortak çarpan parantezine alarak ifadenin yapısını basitleştirmek ve çarpanların paritelerini incelemek amacıyla bu işlem yapılır.

2

Çarpımın tek sayı olma durumunu analiz etme

y

sayısının tek sayı ve

(x + z)

ifadesinin tek sayı olduğu belirlenir.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da ayrı ayrı tek sayı olması gerektiğinden bu sonuca varılır.

3

Toplamların paritelerini ve seçenekleri inceleme

x + y + z

toplamının her zaman çift sayı olduğu görülür.

(x + z)

ifadesinin tek,

y

sayısının da tek olduğu bilindiğinden; bu iki ifadenin toplamı olan

(x + z) + y = x + y + z

ifadesi her zaman çift sayı olur (Tek + Tek = Çift).

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların çarpım ve toplam özellikleri

Soru 2Soru →

Birer pozitif tam sayı olan

x

,

y

ve

z

için

x \cdot y + y \cdot z

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

x + y

y + z

(x + y) \cdot (y + z)

x \cdot y + z

x^y + z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(x + y) \cdot (y + z)$

Cevap

��ki parantezli ifadenin çarpımı olan

(x + y) \cdot (y + z)

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Verilen koşullara göre

y

tek sayı,

x + z

ise tek sayıdır. Bu durumda

x

ve

z

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. İki parantezli çarpım ifadesinde: Eğer

x

çift ise

z

tek olur; buradan

y+z

toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu çift çıkar. Eğer

x

tek ise

x+y

toplamı tek + tek = çift olur ve çarpımın sonucu yine çift çıkar. Dolayısıyla bu ifade her iki durumda da çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak analiz edin.

x \cdot y + y \cdot z = y \cdot (x + z)

İfadenin teklik-çiftlik durumunu çarpanlarına ayırarak belirlemek için.

2

Çarpımın sonucunun tek sayı olması şartını uygulayın.

y

tek sayıdır ve

x + z

tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek sayı olması gerekir.

3

x + z

ifadesinin tek sayı olma durumlarını belirleyin.

x

çift iken

z

tek olmalıdır veya

x

tek iken

z

çift olmalıdır.

İki sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

4

Elde edilen bu iki durumu seçeneklerdeki ifadeler için test edin.

(x + y) \cdot (y + z)

ifadesi:

x

çift olduğunda

y+z = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olacağından çarpım çifttir.

x

tek olduğunda

x+y = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

olacağından çarpım çifttir.

Her iki olası durumda da ifadenin daima çift sayı sonuç verdiğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki davranış kuralları ve ortak paranteze alma yöntemi.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

a \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

b^a + c

a^c + b

(a + b)^c + c

a \cdot b + c^b

b^c + a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(a + b)^c + c$

Cevap

Parantez içinde tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifade her zaman çift sayıdır.

Verilen

a \cdot (b + c)

çarpımı tek sayı olduğuna göre,

a

tek sayıdır ve

b + c

tek sayıdır.

b + c

tek sayı olduğundan

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir. Tabanı a + b ve üssü c olan ifadenin c ile toplamını veren ifadeyi iki durumda inceleyelim: 1. durum:

b

çift ve

c

tek olsun. Bu durumda

a + b

tek sayı olur ve pozitif tam sayı olan

c

kuvveti de tektir. Tek sayının tek sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. 2. durum:

b

tek ve

c

çift olsun. Bu durumda

a + b

çift sayı olur ve pozitif tam sayı olan

c

kuvveti de çifttir. Çift sayının çift sayı ile toplamından sonuç çift sayı elde edilir. Her iki durumda da sonuç çift sayı olduğundan bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

a \cdot (b + c)

ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek.

a

sayısının tek sayı ve

b + c

toplamının tek sayı olduğu belirlenir.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

b + c

toplamının tek sayı olmasından yola çıkarak

b

ve

c

değişkenlerinin teklik-çiftlik durumlarını belirlemek.

b

ve

c

sayılarından biri tek iken diğeri çifttir. Yani, (1. durum:

b

çift,

c

tek) veya (2. durum:

b

tek,

c

çift) geçerlidir.

İki tam sayının toplamının tek sayı olması için bu sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

3

Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını doğru seçenekteki ifadede yerine koyarak sonucu doğrulamak.

1. durumda

a+b

tek,

c

tek olduğundan

\text{tek}^{\text{tek}} + \text{tek} = \text{çift}

olur. 2. durumda

a+b

çift,

c

çift olduğundan

\text{çift}^{\text{çift}} + \text{çift} = \text{çift}

olur.

Her iki olası durumda da ifadenin sonucunun çift sayı olduğu gösterilerek doğruluğu kanıtlanır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ tam sayılar olmak üzere,

(a + 5b) \cdot (c - 4b)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift say��dır?

a + b + c

a \cdot c + b

a \cdot b + c

b \cdot c + a

a \cdot b \cdot c + a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b + c$

Cevap

a + b + c

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Verilen çarpımın tek sayı olması,

(a + 5b)

ve

(c - 4b)

ifadelerinin her ikisinin de tek olmasını gerektirir.

4b

çift olduğundan

c

tek sayıdır.

a + 5b

ifadesinin tek olması için

a

ve

b

zıt teklik-çiftlik durumunda olmalıdır, bu da

a+b

toplamını her zaman tek yapar. Tek olan

(a+b)

ifadesi ile tek olan

c

toplandığında sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Çarpımın tek sayı olma durumunu analiz etmek

a + 5b

ve

c - 4b

ifadelerinin her ikisi de tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olabilmesi için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

c - 4b

ifadesinden

c

sayısının teklik-çiftlik durumunu bulmak

c

tek sayıdır.

b

tam sayı olduğundan

4b

ifadesi her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıdan ancak tek bir sayı çıkarıldığında sonuç tek sayı olacağından

c

tek sayı olmalıdır.

3

a + 5b

ifadesinden

a

ve

b

sayılarının durumunu analiz etmek

a

ve

b

sayılarından biri tek, diğeri çift sayıdır.

Toplamın tek sayı olması için terimlerden birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

5b

ifadesinin teklik-çiftlik durumu

b

ile aynıdır. Dolayısıyla

a

ve

b

zıt karakterdedir ve

a+b

toplamı her zaman tektir.

4

a + b + c

ifadesinin durumunu değerlendirmek

a + b + c

ifadesi her zaman çifttir.

a+b

toplamının tek olduğunu bulmuştuk.

c

sayısı da tek olduğundan, iki tek sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki davranışları

İpuçları

1

İki sayının çarpımının tek olması için bu sayıların her birinin tek olması gerektiğini unutmayın.

2

4b

ifadesi her zaman çifttir. Buradan

c

'nin teklik durumunu, ardından da

a

ile

b

arasındaki teklik-çiftlik ilişkisini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde bölme işlemi içeren tek ve çift sayı ifadelerinde paydanın durumuna dikkat ederek çözüm yapmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi kullanılabilir:

c

tek sayı olduğundan

c = 1

seçelim.

a

ve

b

zıt karakterde olduğundan

a = 1, b = 0

değerlerini vererek seçenekleri elediğimizde sadece aradığımız ifadenin çift kaldığını görebiliriz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Sıfırdan büyük

a

,

b

ve

c

tam sayıları için

a^b + b^c

ifadesinin bir çift sayı,

b^c + c^a

ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot b + c

a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a

a^c + b

b^a + c

(a + c)^b + b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a^c + b$

Cevap

a^c + b

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Doğru seçenekteki

a^c + b

ifadesi,

a, b

çift ve

c

tek iken çiftin tek kuvveti ile çiftin toplamı (çift + çift = çift) olur.

a, b

tek ve

c

çift iken tekin çift kuvveti ile tekin toplamı (tek + tek = çift) olur. Her iki olası durumda da sonuç çift sayı çıktığından bu ifade her zaman çifttir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ilk ifade olan

a^b + b^c

toplamının çift sayı olmasını analiz edin.

a^b

ve

b^c

ifadelerinin tabanlarının (

a

ve

b

) teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Yani

a

ve

b

ya ikisi de çift ya da ikisi de tektir.

Pozitif tam sayı ��sler tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez. İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların aynı tekliğe/çiftliğe sahip olması gerekir.

2

Verilen ikinci ifade olan

b^c + c^a

toplamının tek sayı olmasını analiz edin.

b^c

ve

c^a

ifadelerinin tabanları (

b

ve

c

) zıt teklik-çiftlik durumlarına sahip olmalıdır. Yani

b

çift ise

c

tek,

b

tek ise

c

çift olmalıdır.

İki sayının toplamının tek olması için bu sayıların farklı teklik-çiftlik durumlarına sahip olması gerekir.

3

Elde edilen teklik-çiftlik durumlarını iki ayrı durum olarak listeleyin.

1. Durum:

a

çift,

b

çift ve

c

tektir. 2. Durum:

a

tek,

b

tek ve

c

çifttir.

Soruda verilen ifadelerin her ikisinin de aynı anda sağlanabilmesi için bu iki durumdan birinin geçerli olması zorunludur.

4

a^c + b

ifadesinin bu iki durum için teklik-çiftlik karakterini inceleyin.

1. Durumda:

a^c + b = \text{çift}^{\text{tek}} + \text{çift} = \text{çift} + \text{çift} = \text{çift}

. 2. Durumda:

a^c + b = \text{tek}^{\text{çift}} + \text{tek} = \text{tek} + \text{tek} = \text{çift}

. Her iki durumda da sonuç çifttir.

Her iki olası durumda da ifadenin sonucu çift sayı çıktığı için bu ifade her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif tam sayı üs içeren ifadelerde tabanın teklik-çiftlik durumunun incelenmesi ve iki değişkenli durum analizleri.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 6Soru →

x

,

y

ve

z

tam sayıları için

x \cdot y + z

ifadesinin bir tek sayı,

x + y \cdot z

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre;
I. $x \cdot z + y$
II. $x \cdot (y + z)$
III. $y \cdot z + z$

ifadelerinden hangileri her zaman çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II numaralı ifadeler her zaman çift sayıdır.

Yapılan analiz sonucunda x sayısının çift, y sayısının çift ve z sayısının tek sayı olduğu kesinleşmiştir. Bu durumda I numaralı ifade çift sayı ile tek sayının çarpımı (çift) artı çift sayı şeklinde olduğundan çift sayı sonucunu verir. II numaralı ifade ise çift bir sayı olan x ile bir tam sayının çarpımı şeklinde olduğundan parantez içine bakılmaksızın her zaman çift sayı sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1

x tam sayısının tek sayı olduğunu varsayarak çelişkiyi gösterin.

Eğer x tek sayı olsaydı, x + y . z ifadesinin çift olması için y . z çarpımının tek olması, yani hem y hem de z'nin tek sayı olması gerekirdi. Ancak bu durumda x . y + z ifadesi (Tek . Tek) + Tek = Tek + Tek = Çift olurdu. Bu durum ilk ifadenin tek sayı olmasıyla çelişir.

Değişkenlerin paritelerini belirlemek için olasılıkları daraltmak ve çelişki yöntemiyle x'in paritesini kesinleştirmek gerekir.

2

x sayısının çift sayı olduğu bilgisinden yararlanarak z sayısının paritesini bulun.

x sayısı çift sayı olmak zorundadır. Bu durumda x . y çarpımı da çift sayı olur. x . y + z ifadesinin tek sayı olduğu bilindiğinden, Çift + z = Tek eşitliğinden z sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır.

Çift bir sayıyla yapılan çarpımın sonucunun daima çift olmasından yararlanarak z'nin tekliğini doğrulamak gerekir.

3

Bulunan pariteleri kullanarak y sayısının paritesini belirleyin.

x + y . z ifadesinde x çift, z tek sayıdır. Bu toplamın çift sayı olabilmesi için y . z çarpımının çift sayı olması gerekir. z tek sayı olduğundan, çarpımın çift olabilmesi için y sayısının çift sayı olması şarttır.

Toplam ve çarpım kurallarını uygulayarak y değişkeninin de çift olduğunu kesinleştirmek gerekir.

4

Elde edilen parite değerlerini (x: çift, y: çift, z: tek) öncüllerde yerine koyarak test edin.

I. x . z + y = Çift . Tek + Çift = Çift + Çift = Çift (Her zaman çift)
II. x . (y + z) = Çift . (Çift + Tek) = Çift . Tek = Çift (Her zaman çift)
III. y . z + z = Çift . Tek + Tek = Çift + Tek = Tek (Her zaman tek)

Her bir öncülün her zaman çift sayı verip vermediğini matematiksel kurallarla kontrol etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Soru 7Soru →

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı

a

,

b

ve

c

sayıları için

a^b + c

toplamının bir tek sayı olduğu biliniyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

a + c

a \cdot b + c

a^c + b

a \cdot c

b^a + c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot c$

Cevap

a ve c sayılarının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.

Pozitif tam sayılar kümesinde a^b ifadesinin tekliği veya çiftliği sadece a tabanına bağlıdır. a^b + c toplamının tek sayı olabilmesi için a^b ile c ifadelerinin zıt paritede (biri tek, diğeri çift) olması gerekir. Buradan a ve c sayılarının zıt paritede olduğu görülür. Biri tek, diğeri çift sayı olan iki sayının çarpımı olan a ve c sayılarının çarpımı her zaman çift sayı olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

a^b ifadesinin paritesini analiz etmek.

a ve b pozitif tam sayılar olduğu için, a^b ifadesinin tekliği veya çiftliği tamamen a tabanına bağlıdır. Yani a çift ise a^b çift, a tek ise a^b tektir.

Pozitif tam sayı üsleri, tabanın tekliğini veya çiftliğini değiştirmez.

2

a^b + c ifadesinin tek sayı olma durumunu incelemek.

Toplamın tek sayı olması için toplanan iki ifadenin zıt paritede olması gerekir. Bu durumda, a^b ile c zıt paritededir. Buradan a ile c sayılarının zıt paritede (biri tek iken diğerinin çift) olduğu sonucu çıkar.

Çift + Tek = Tek ve Tek + Çift = Tek kuralları geçerlidir.

3

Seçenekleri değerlendirerek her zaman çift olan ifadeyi bulmak.

a ve c sayılarından biri tek, diğeri çift olmak zorundadır. Bu iki sayının çarpımı olan a * c ifadesi, çarpanlardan en az biri çift sayı olduğu için her zaman çift bir sayıdır.

Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Pozitif tam sayı üslerinin tek veya çift sayılar üzerindeki etkisi ve çarpma/toplama işlemlerinde teklik-çiftlik kuralları.

Soru 8Soru →

Aşağıda $a$ , $b$ ve $c$ tam sayıları kullanılarak oluşturulan iki ifadenin teklik ve çiftlik durumları verilmiştir:
* $(a + 3) \cdot b + c$ ifadesi bir çift sayıdır.
* $a \cdot (b - 1) + c$ ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot b + c

a \cdot c + b

a^2 + b + c

a \cdot (b + c)

b \cdot c + a

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot (b + c)$

Cevap

Her zaman çift sayı olan ifade

a \cdot (b + c)

ifadesidir.

Doğru cevap olan

a \cdot (b + c)

ifadesinde,

b

ve

c

tam sayılarının her iki olası durumda da aynı teklik-çiftlik durumuna (ikisi de tek veya ikisi de çift) sahip olduğu görülür. İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı daima çift sayı olacağından

b + c

toplamı her zaman çifttir. Çift bir sayının bir tam sayı olan

a

ile çarpımı da her zaman çift bir sayı verecektir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen iki ifadeyi taraf tarafa çıkararak sadeleştirme yapın.

((a + 3)b + c) - (a(b - 1) + c) = 3b + a

Ortak olan

c

değişkenini yok ederek

a

ve

b

arasındaki ilişkiyi bulmak.

2

Bulunan farkın teklik-çiftlik durumunu belirleyin.

Çift sayı ile tek sayının farkı tek sayı olduğundan,

3b + a

ifadesi bir tek sayıdır.

İfadelerden biri çift, diğeri tek olarak tanımlanmıştır.

3

3b + a

ifadesinin tek olmasından yola çıkarak

a

ve

b

'nin teklik-çiftlik durumlarını inceleyin.

3b

ve

b

aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir. Dolayısıyla

b + a

toplamı tek olmalıdır. Bu da

a

ile

b

'nin zıt teklik-çiftlik durumlarında olmasını gerektirir.

Tek sayı ile çift sayının toplamı tektir.

4

a

ve

b

'nin zıt karakterli olduğu iki durumu da ayrı ayrı ele alarak

c

'nin durumunu belirleyin.

Durum 1:

a

çift,

b

tek ise

((a+3)b + c)

ifadesinden

c

tek bulunur. Durum 2:

a

tek,

b

çift ise

((a+3)b + c)

ifadesinden

c

çift bulunur.

Verilen ilk ifadenin çift sayı olma koşulunu sağlamak.

5

Elde edilen sonuçları birleştirerek

b

ve

c

arasındaki ilişkiyi kurun.

Her iki durumda da

b

ve

c

aynı karakterdedir (ikisi de tek veya ikisi de çift). Bu yüzden

b + c

toplamı her zaman çift bir sayıdır.

İki tek sayının veya iki çift sayının toplamı daima çifttir.

6

Seçenekleri analiz ederek her zaman çift olan ifadeyi belirleyin.

b + c

daima çift olduğundan,

a

ile çarpımı olan

a \cdot (b + c)

ifadesi de daima çift sayı olur.

Çift bir sayıyla herhangi bir tam sayının çarpımı daima çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

İpuçları

1

Verilen iki ifadenin teklik ve çiftlik durumlarını karşılaştırmak için bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarmayı deneyin.

2

İfadelerin farkı olan

3b + a

ifadesinin tek sayı olması gerektiğini bulun ve buradan

a

ile

b

tam sayılarının zıt teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu görün.

3

a

ve

b

zıt karakterde olduğunda, ilk ifadeden yararlanarak

c

'nin alabileceği değerleri inceleyin.

b

ve

c

değişkenlerinin her iki durumda da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğunu fark edeceksiniz.

Daha Fazla Pratik

Zıt işaretli veya sıfır olabilen tam sayılarla teklik-çiftlik analizini pekiştirmek için rasyonel ve üslü ifadeler içeren teklik-çiftlik soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Verilen ifadelerde değer verme yöntemi kullanılabilir.

a

ve

b

için zıt teklik-çiftlik değerleri seçilip (örneğin

a=0, b=1

veya

a=1, b=0

) ilk ifadeden

c

'nin değeri bulunur. Elde edilen

(a, b, c)

üçlüleri seçeneklerde yerine yazılarak her zaman çift olmayan seçenekler elenebilir. Ancak kesin ispat için cebirsel analiz tercih edilmelidir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 9Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,
- $a^b + 3c$ ifadesi bir çift sayıdır.
- $b^c + a$ ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot (b + c)

a + b + c

a \cdot b + b \cdot c

a \cdot b + c

b^a + a \cdot c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a \cdot b + b \cdot c$

Cevap

a \cdot b + b \cdot c

ifadesi her zaman çift say��dır.

a \cdot b + b \cdot c

ifadesi, ortak çarpan parantezine alındığında

b \cdot (a + c)

şeklinde yazılır.

a

ve

c

sayıları her iki olası durumda da aynı teklik-çiftlik karakterine sahip olduğundan

a + c

toplamı daima çift sayıdır. Çift bir sayıyla yapılan çarpım işleminin sonucu da her zaman çift olacağından bu ifade her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Pozitif tam sayı üslerinin teklik-çiftlik durumuna etkisini belirlemek.

a

,

b

ve

c

birer pozitif tam say�� olduğundan,

a^b

ifadesi

a

tabanı ile,

b^c

ifadesi de

b

tabanı ile aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.

Pozitif tam sayı kuvvetleri, tabandaki sayının teklik veya çiftliğini değiştirmez.

2

Verilen birinci ifadeyi (

a^b + 3c

çift sayı) analiz etmek.

a^b + 3c

ifadesi

a + c

ile aynı teklik-çiftlik durumuna sahiptir. Toplamın çift sayı olması,

a

ve

c

sayılarının aynı teklik-çiftlik karakterinde olduğunu gösterir. Yani,

a

ve

c

sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir.

İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının aynı olması gerekir.

3

Verilen ikinci ifadeyi (

b^c + a

tek sayı) analiz etmek.

b^c + a

ifadesi

b + a

ile aynı teklik-çiftlik durumuna sahiptir. Toplamın tek sayı olması,

a

ve

b

sayılarının zıt teklik-çiftlik karakterinde olduğunu gösterir. Yani,

a

tek ise

b

çift;

a

çift ise

b

tektir.

İki sayının toplamının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının birbirinden farklı olması gerekir.

4

Değişkenler için oluşan olası durumları belirlemek ve seçenekleri test etmek.

İki olası durum vardır. Durum 1:

a

tek,

c

tek,

b

çift. Durum 2:

a

çift,

c

çift,

b

tek. Her iki durumda da

a + c

toplamı her zaman çift bir sayıdır. Seçeneklerde yer alan

a \cdot b + b \cdot c

ifadesi,

b \cdot (a + c)

şeklinde ortak çarpan parantezine alınabilir. Bu çarpımda

a + c

çift olduğundan,

b

çarpanının değerinden bağımsız olarak çarpımın sonucu daima çift sayı olur.

Bir çift tam sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda İşlemler ve Üs Özellikleri

Soru 10Soru →

Birer tam sayı olan

a

ve

b

ile pozitif bir tam sayı olan

c

için

a^{c+1} + b \cdot c

ifadesinin bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

b + c

a + b^c

(a + b) \cdot c

a \cdot b \cdot c

a + c + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(a + b) \cdot c$

Cevap

(a + b) \cdot c

ifadesi

Verilen ifadeyi

c

sayısının teklik ve çiftlik durumlarına göre incelediğimizde;

c

çift olduğunda

a

çift olur ve bu durumda

(a+b) \cdot c

ifadesi çift bir sayı ile çarpıldığı için sonuç kesinlikle çift olur.

c

tek olduğunda ise

a

ve

b

aynı teklik-çiftlik durumuna sahip olmak zorundadır. Dolayısıyla

a+b

toplamı çift olacağından, tek olan

c

sayısı ile çarpımı yine çift sayı verir. Bu nedenle

(a+b) \cdot c

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

a^{c+1} + b \cdot c

ifadesinin paritesini, pozitif tam sayı olan

c

'nin durumlarına göre analiz etmek.

c

çift ise,

b \cdot c

çifttir. Toplamın çift olması için

a^{c+1}

çift, dolayısıyla

a

çift olmalıdır.

c

tek ise,

c+1

çift ve pozitif bir sayı olduğundan

a^{c+1}

ifadesi

a

ile aynı paritededir.

b \cdot c

ise

b

ile aynı paritededir. Toplamın çift olması için

a

ve

b

aynı paritede (ikisi de tek veya ikisi de çift) olmalıdır.

Pozitif tam sayı kuvvetleri tabanın teklik-çiftlik karakterini değiştirmez ve çift bir sayı ile yapılan çarpımlar her zaman çift sonuç verir.

2

Bulunan bu durumları

(a + b) \cdot c

ifadesi üzerinde test etmek.

c

çift olduğunda, parantez içi ne olursa olsun çift bir sayı ile çarpıldığı için

(a + b) \cdot c

çift olur.

c

tek olduğunda,

a

ve

b

aynı paritede olduğu için

a+b

toplamı çift olur; çift sayı ile tek sayının çarpımı yine çift olur. Her iki durumda da ifade çifttir.

Olası tüm durumların ortak sonucunu bularak ifadenin kesinlikle çift sayı olduğunu doğrulamak.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların temel aritmetik özellikleri ve pozitif tam sayı kuvvetlerinin pariteye etkisi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

m

ve

n

pozitif tam sayıları için

3m - n

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

m + n

3m + 5n

m \cdot n

m^n

m - 2n

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $m \cdot n$

Cevap

Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemi her zaman çift sayı olacağından, biri tek diğeri çift sayı olan m ve n sayılarının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Verilen

3m - n

ifadesinin tek sayı olması, eksilen ve çıkan terimlerin farklı paritede olmasını gerektirir. 3 katsayısı tek olduğu için

3m

teriminin paritesi doğrudan

m

sayısının paritesine bağlıdır. Bu durumda

m

ve

n

sayılarından biri tek, diğeri çift sayı olmalıdır. Farklı paritedeki iki sayının çarpımı, içinde en az bir çift çarpan barındırdığı için her zaman çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadenin teklik durumunu analiz etme

3m - n

ifadesi tek sayıdır.

İki sayının farkının tek olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumlarının birbirinden farklı (biri tek, diğeri çift) olması gerekir.

2

Değişkenlerin paritelerini belirleme

m

ve

n

sayılarından biri çift, diğeri tek sayıdır.

3m

ifadesinin teklik-çiftlik durumu

m

ile aynıdır. Dolayısıyla

3m

ile

n

sayılarının paritelerinin farklı olması,

m

ile

n

sayılarının paritelerinin farklı olmasını gerektirir.

3

Seçenekleri bu duruma göre değerlendirme

m \cdot n

ifadesinin sonucu her zaman çift sayıdır.

Biri çift, diğeri tek olan iki sayının çarpımında çarpanlardan biri çift sayı olduğu için sonuç her zaman çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri altındaki parite kuralları.

Soru 12Soru →

$x$ , $y$ ve $z$ birer tam sayı olmak üzere,

x^2 + y \cdot z

ifadesinin bir tek sayı,

x + y + z

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

x \cdot y + z

x \cdot z + y

x \cdot y \cdot z

x \cdot y + y \cdot z + x \cdot z

(x + y) \cdot z

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x \cdot y \cdot z$

Cevap

x \cdot y \cdot z

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Yapılan analizde, koşulları sağlayan tüm durumlarda

x

,

y

ve

z

sayılarından tam olarak bir tanesinin çift sayı olduğu görülmüştür. Çarpanlardan en az biri çift sayı olduğunda, bu sayıların çarpımı olan

x \cdot y \cdot z

ifadesi her zaman bir çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

x^2 + y \cdot z

ifadesinin teklik-çiftlik durumunu sadeleştirme.

x + y \cdot z

ifadesinin tek sayı olduğu bulunur.

Herhangi bir tam sayının karesi ile kendisi aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir. Bu nedenle

x^2

yerine

x

yazarak inceleme yapabiliriz.

2

x

sayısının çift olması durumunu inceleme.

x

çift ise

y \cdot z

tek olmalı, bu da

y

ve

z

sayılarının her ikisinin de tek olmasını gerektirir.

x

çift iken toplamın tek olması için

y \cdot z

çarpımının tek olması gerekir. İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek olmak zorundadır.

3

x

çift iken ikinci koşulu kontrol etme.

x

çift,

y

tek ve

z

tek olduğunda

x + y + z

toplamı çift olur, bu da ikinci koşulu doğrular.

Çift

+

Tek

+

Tek

=

Çift kuralı uyarınca koşul sağlanır. Bu durumda

x, y, z

sayılarından sadece

x

çift sayıdır.

4

x

sayısının tek olması durumunu inceleme ve ikinci koşulla birleştirme.

x

tek ise

y \cdot z

çarpımı çift olmalıdır. Ayrıca

x + y + z

çift olduğundan

y + z

toplamı tek olmalıdır. Bu durumda

y

ve

z

sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

x

tek iken toplamın çift olması için diğer iki sayının toplamı (

y+z

) tek olmalıdır. Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Bu durumda da

x, y, z

sayılarından sadece biri (

y

veya

z

) çifttir.

5

Elde edilen durumları birleştirerek sonucu yorumlama.

Tüm durumlarda

x, y, z

tam sayılarından tam olarak bir tanesi çift sayı olmaktadır.

Çarpanlarından en az biri çift sayı olan tam sayı çarpımlarının sonucu daima çift sayı olacağından,

x \cdot y \cdot z

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve çift tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kuralları ile üs alma özelliğinin analizi.

Soru 13Soru →

a

,

b

ve

c

pozitif tam sayılar olmak üzere,

a \cdot b + a + 3 = 4c

eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot c + b

a^b + b

a + b + 1

a \cdot b + a

b^a + c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b + 1$

Cevap

Teklik ve çiftlik analizi sonucunda elde edilen

a

tek ve

b

çift değerleri için

a + b + 1

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Eşitlik düzenlendiğinde

a(b + 1) = 4c - 3

elde edilir.

4c

çift olduğundan

4c - 3

tektir. Bu durumda

a

tek ve

b + 1

tek olmalıdır, yani

b

çift sayıdır.

a

tek ve

b

çift olduğundan,

a + b + 1

ifadesi Tek + Çift + Tek = Çift işleminin sonucu olarak her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen eşitliği düzenleyerek ortak çarpan parantezine alalım.

a(b + 1) + 3 = 4c

elde edilir. Buradan

a(b + 1) = 4c - 3

yazılır.

Teklik-çiftlik analizini kolaylaştırmak için değişkenleri çarpanlarına ayırmak gerekir.

2

Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu belirleyelim.

c

pozitif tam sayı olduğundan

4c

her zaman çift sayıdır. Çift bir sayıdan tek bir sayı (3) çıkarıldığında sonuç tek olur. Dolayısıyla

4c - 3

ifadesi her zaman tektir.

Eşitliğin bir tarafının kesin karakterini belirleyerek diğer taraf hakkında çıkarım yapmak.

3

Eşitliğin sol tarafındaki çarpanların teklik-çiftlik durumunu analiz edelim.

a(b + 1)

çarpımının sonucu tek sayı olduğuna göre, her iki çarpan da tek sayı olmalıdır. Buradan

a

tek sayı ve

b + 1

tek sayı bulunur.

b + 1

tek ise

b

çift sayı olur.

İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki sayının da tek olması kuralını uygulamak.

4

Bulunan

a

(tek) ve

b

(çift) değerlerini seçeneklerdeki ifadelere uygulayarak her zaman çift olan ifadeyi bulalım.

a + b + 1

ifadesinde,

a

tek,

b

çift olduğundan Tek + Çift + Tek = Çift olur. Dolayısıyla bu ifade her zaman çifttir.

Değişkenlerin kesin teklik-çiftlik durumlarını seçeneklerde yerine koymak.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Çarpım ve Toplam Özellikleri

Soru 14Soru →

a

,

b

ve

c

birer pozitif tam sayı olmak üzere,

(a^b + 1) \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

b^a + a \cdot c

a \cdot b + c^a

a^c + b \cdot c

c^b + a \cdot b

(a + c)^b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a^c + b \cdot c$

Cevap

Daima çift sayı olan ifade

a^c + b \cdot c

ifadesidir.

Verilen çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek olması gerekir. Buradan

a^b + 1

ifadesinin tek, yani

a^b

ifadesinin çift olduğu anlaşılır.

b

pozitif tam sayı olduğundan

a

kesinlikle çift sayıdır. Diğer çarpan olan

b + c

tek olduğundan,

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çifttir.

a^c + b \cdot c

ifadesinde,

a

çift ve

c

pozitif tam sayı olduğundan

a^c

daima çifttir.

b

ve

c

'den en az biri çift olduğundan

b \cdot c

da daima çifttir. İki çift terimin toplamı daima çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek

a^b + 1

ve

b + c

ifadelerinin her ikisi de tek sayı olmalıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.

2

a^b + 1

ifadesinin teklik durumundan faydalanarak

a

değişkeninin karakterini bulmak

a^b

çift sayı olmalıdır.

b

pozitif bir tam sayı olduğundan, tabandaki

a

sayısı da çift sayı olmak zorundadır.

Tek sayıdan 1 çıkarıldığında çift sayı elde edilir. Pozitif tam sayı kuvvetleri tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez.

3

b + c

ifadesinin teklik durumundan faydalanarak

b

ve

c

değişkenlerinin durumlarını belirlemek

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayı olmalıdır. Bu durum iki olası senaryo yaratır: 1)

b

çift,

c

tek; 2)

b

tek,

c

çift.

İki tam sayının toplamının tek sayı çıkması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.

4

Elde edilen durumları

a^c + b \cdot c

seçeneğinde yerine koyarak incelemek

a

çift ve

c

pozitif tam sayı olduğundan

a^c

terimi daima çift sayıdır.

b

ve

c

sayılarından biri mutlaka çift olduğundan

b \cdot c

çarpımı da daima çift sayıdır. İki çift sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, bu ifade daima çift sayıdır.

Genel kurallara göre çift sayı ile çift sayının toplamı çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Çarpma, Toplama ve Üs Alma Kuralları

Soru 15Soru →

x

ve

y

tam sayılar�� için

3x + y

ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu her zaman bir çift sayıdır?

x \cdot y

2x + y

x + y

x + 2y

x \cdot y + 1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $x + y$

Cevap

x + y

ifadesi her zaman çift sayıdır.

Verilen

3x + y

ifadesinin çift sayı olması,

3x

ve

y

terimlerinin teklik-çiftlik durumlarının aynı olmasını gerektirir.

3x

teriminin teklik-çiftlik karakteri

x

ile aynı olduğundan,

x

ve

y

tam sayılarının her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir. Aynı teklik-çiftlik karakterine sahip iki sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından,

x + y

ifadesinin sonucu daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

3x + y

ifadesinin çift olmasını kullanarak

x

ve

y

arasındaki ilişkiyi analiz edelim.

x

ve

y

tam sayılarının teklik-çiftlik durumlarının aynı olduğu belirlenir.

3x + y

ifadesinin çift olması için

3x

ile

y

ifadelerinin teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır.

3x

ifadesinin teklik-çiftlik durumu

x

ile aynı olduğundan,

x

ile

y

aynı karakterdedir (yani her ikisi de tek ya da her ikisi de çifttir).

2

Seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumlarını inceleyelim.

x + y

ifadesinin sonucunun her zaman çift sayı olduğu görülür.

x

ve

y

sayılarının her ikisi de tek olduğunda toplamları (tek + tek = çift), her ikisi de çift olduğunda ise toplamları (çift + çift = çift) olur. Bu nedenle toplamları daima bir çift sayıdır.

Anahtar Kavram

İki tam sayının teklik-çiftlik durumları aynı ise toplamları her zaman çift sayıdır.

Soru 16Soru →

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı

a

,

b

ve

c

sayıları için

a \cdot b + c

ifadesinin bir tek sayı,

a + b \cdot c

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

(a + 1) \cdot (b + c)

a + b + c

a^b + b^a

a^c + c

b \cdot c + c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a^b + b^a$

Cevap

Tabanı çift ve üssü pozitif olan üslü ifadelerin toplamı olan ifade her zaman çifttir.

Duyarlılıkla elde edilen

a

çift,

b

çift ve

c

tek değerleri için, doğru seçenekteki

a^b + b^a

ifadesinde her iki terim de pozitif çift tam sayıların kuvvetleri olduğundan çifttir. İki çift sayının toplamı da her zaman çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen ifadeleri analiz etmek için

a

sayısının tek veya çift olma durumlarını inceleyelim.

a

çift sayı ise,

a \cdot b

çift olur. Bu durumda

a \cdot b + c

ifadesinin tek olması için

c

tek sayı olmalıdır.

Çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir ve çift sayı ile tek sayının toplamı tektir.

2

a

çift ve

c

tek olduğunda ikinci ifadeyi kontrol edelim.

a + b \cdot c

ifadesinde

a

çift olduğundan, ifadenin çift olabilmesi için

b \cdot c

çift olmalıdır.

c

tek olduğundan,

b

çift sayı olmalıdır. Bu durumda tutarlı bir biçimde

a

çift,

b

çift ve

c

tek olarak bulunur.

Çift sayı ile çift sayının toplamı çifttir. Tek bir sayı ile çift sayının çarpımı çifttir.

3

a

sayısının tek olma durumunu inceleyip çelişki olup olmadığını görelim.

a

tek ise,

a \cdot b + c

ifadesinin tek olması için

b + c

tek olmalıdır (biri tek, diğeri çift). İkinci ifadede

a + b \cdot c

çift ise,

b \cdot c

tek olmalıdır, yani hem

b

hem

c

tek olmalıdır. Ancak hem

b

hem

c

tek olursa

b + c

çift olur ve bu durum çelişki yaratır. Dolayısıyla

a

tek olamaz.

İki tek sayının toplamı çift olmalıdır, bu da

b+c

ifadesinin tek olması gerektiği bilgisiyle çelişir.

4

Bulunan

a

çift,

b

çift ve

c

tek paritelerini kullanarak seçenekleri değerlendirelim.

Seçeneklerdeki

a^b + b^a

ifadesinde

a

ve

b

pozitif çift sayılar olduğundan,

a^b

ve

b^a

ifadeleri de çifttir. İki çift sayının toplamı da çift olacağından bu ifade her zaman çifttir.

Tabanı çift olan pozitif tam sayı kuvvetleri her zaman çifttir ve iki çift sayının toplamı çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Soru 17Soru →

a

,

b

ve

c

pozitif tam sayılar olmak üzere,

a^2 + b \cdot c

ifadesi bir çift sayı,

b + c

ifadesi ise bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

a \cdot b + c

a^c + b

a + b \cdot c

b^a + c

a \cdot c + b^b

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a + b \cdot c$

Cevap

a + b \cdot c

ifadesi her zaman bir çift sayıdır.

Verilen bilgilere göre,

b + c

toplamı tek olduğundan

b

ve

c

değişkenlerinden biri tek diğeri çifttir. Bu nedenle

b \cdot c

çarpımı her zaman çifttir.

a^2 + b \cdot c

ifadesi çift olduğundan ve

b \cdot c

çift olduğundan

a^2

de çift olmalıdır.

a

pozitif tam sayı olduğundan kendisi de çift sayıdır. Dolayısıyla çift bir sayı olan

a

ile çift bir sayı olan

b \cdot c

çarpımının toplamı her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

b + c

ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpımlarının durumunu belirlemek.

b

ve

c

sayılarından biri tek, diğeri çift olduğundan

b \cdot c

çarpımı her zaman bir çift sayıdır.

Toplamları tek olan iki tam sayıdan biri tek, diğeri çifttir. Bir çift sayı ile bir tek sayının çarpımı ise her zaman çift sayıdır.

2

a^2 + b \cdot c

ifadesinin çift sayı olmasını kullanarak

a

sayısının teklik-çiftlik durumunu bulmak.

a^2

çift bir sayıdır, dolayısıyla

a

sayısı da çift bir sayıdır.

Çift bir sayı ile toplanıp çift sonuç veren sayı çifttir. Pozitif tam sayılarda karesi çift olan sayı kendisi de çifttir.

3

Seçenekleri analiz ederek her zaman çift olan ifadeyi belirlemek.

a + b \cdot c

ifadesinde

a

çift ve

b \cdot c

çift olduğundan toplam daima çift bir sayıdır.

İki çift sayının toplamı her zaman çift bir sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayıların Toplama ve Çarpma Kuralları ile Pozitif Tam Sayı Kuvvetlerinin Özellikleri

Soru 18Soru →

Bir $k$ tam sayısı için $5k - 3$ sayısının bir çift sayı olduğu bilinmektedir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir tek sayıdır?

k - 1

3k + 1

k^2 + 2

k^2 - k

2k + 4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $k^2 + 2$

Cevap

k^2 + 2

ifadesi

Verilen

5k - 3

ifadesinin bir çift sayı olduğu belirtilmiştir. Çift bir sayıdan tek sayı çıkarıldığında sonuç tek olacağından,

5k

ifadesi tek sayı olmalıdır. Çarpımın tek sayı olması için

k

tek sayı olmalıdır.

k

tek sayı ise, karesi olan

k^2

de tek sayıdır. Tek bir sayıya çift olan

2

eklendiğinde (

k^2 + 2

) sonuç her zaman tek sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

5k - 3

ifadesinin çift sayı olmasından yola çıkarak

k

sayısının tekliğini/çiftliğini belirlemek.

k

sayısı tek sayıdır.

5k - 3

ifadesi çift sayıdır.

-3

tek sayı olduğuna göre,

5k

ifadesi tek sayı olmalıdır (tek - tek = çift).

5

tek sayı olduğundan, çarpımın tek olması için

k

tek sayı olmalıdır.

2

Bulunan

k

değeri için seçeneklerdeki ifadeleri tek tek incelemek.

k^2 + 2

ifadesinin sonucunun her zaman tek sayı olduğu görülür.

k

tek sayı ise, karesi olan

k^2

de tek sayıdır. Tek bir sayıya çift olan

2

sayısı eklendiğinde sonuç her zaman tek sayı (tek + çift = tek) olur. Diğer tüm seçenekler çift sayı üretir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar

Tahmini Süre:45s

Soru 19Soru →

$a$ , $b$ ve $c$ birer tam sayı olmak üzere,

* $a^2 + a + b$ ifadesi bir tek sayı,
* $b \cdot (c + 1)$ ifadesi bir çift sayı

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşa��ıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman bir tek sayıdır?

a \cdot b + c

b \cdot c + a

a^2 + a + c

a \cdot c + b

a \cdot b \cdot c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $a^2 + a + c$

Cevap

Ardışık iki tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilen terimi içeren ve tek olan terimle toplanan ifade her zaman tek sayıdır.

Verilen bilgilere göre, ardışık iki tam sayının çarpımı olan

a(a + 1)

yani

a^2 + a

ifadesi her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla ilk öncülde verilen

a^2 + a + b

ifadesinin tek sayı olabilmesi için

b

sayısı tek sayı olmalıdır. İkinci öncülde yer alan

b \cdot (c + 1)

ifadesinin çift sayı olabilmesi ve

b

'nin tek olması nedeniyle

c + 1

ifadesi çift olmalı, yani

c

sayısı tek sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde,

a^2 + a + c

ifadesinde

a^2 + a

her zaman çift,

c

ise tek sayı olduğundan bu toplamın sonucu her zaman tek sayı çıkacaktır.

Adım Adım Çözüm

1

a^2 + a

ifadesinin karakterini incelemek.

a^2 + a = a(a + 1)

ifadesi ardışık iki tam sayının çarpımıdır. Ardışık iki tam sayıdan biri mutlaka çift sayı olacağından, çarpımları olan

a^2 + a

ifadesi

a

tam sayısının değerinden bağımsız olarak her zaman bir çift sayıdır.

İlk öncülde verilen ifadedeki

b

değişkeninin tekliğini veya çiftliğini bulabilmek için diğer terimi analiz etmek gerekir.

2

b

sayısının tekliğini veya çiftliğini belirlemek.

a^2 + a + b

ifadesinin tek sayı olduğu verilmiştir.

a^2 + a

çift bir sayı olduğuna göre, sonucun tek olabilmesi için

b

sayısının tek sayı olması gerekir (Çift + Tek = Tek).

b

değişkeninin durumunu netleştirerek ikinci öncüldeki

c

değişkenine geçiş yapmak.

3

c

sayısının tekliğini veya çiftliğini belirlemek.

b \cdot (c + 1)

ifadesinin çift sayı olduğu verilmiştir.

b

sayısının tek sayı olduğunu bulmuştuk. İki sayının çarpımının çift olabilmesi için çarpanlardan en az birinin çift olması gerekir.

b

tek olduğuna göre,

c + 1

ifadesi çift sayı olmalıdır. Buradan

c

sayısının tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır (Tek + Tek = Çift).

Soruda verilen öncüllerden elde edilebilecek tüm kesin bilgileri tamamlamak.

4

Seçenekleri analiz etmek.

Bulgularımıza göre:

b

tek sayı,

c

tek sayı ve

a

sayısı hakkında kesin bir bilgi yoktur (tek veya çift olabilir). Bu durumda,

a(a+1) + c

ifadesinde

a(a+1)

her zaman çift ve

c

her zaman tek olduğundan, toplamın sonucu olan

a^2 + a + c

ifadesi her zaman tek bir sayıdır.

Doğru seçeneğe ulaşmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda teklik ve çiftlik özellikleri ile ardışık tam sayıların çarpımının çift sayı olması kuralı.

Alternatif Yöntem

a

değişkeninin çift ve tek durumları için ayrı ayrı değerler vererek (örneğin

a=0

ve

a=1

için) seçeneklerin doğruluğu test edilebilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 20Soru →

x, y

ve

z

pozitif tam sayıları için

(x + y) \cdot (y + z)

ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. $x \cdot z$
II. $x^y + z$
III. $x + y + z$

ifadelerinden hangileri her zaman bir çift sayıdır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II ifadesi her zaman çift sayıdır.

Çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir. Buradan x + y ve y + z ifadelerinin tek olduğu anlaşılır. y tek ise x ve z çift; y çift ise x ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z aynı teklik-çiftlik durumundadır. y pozitif tam sayı olduğu için x^y ile x aynı teklik-çiftlik karakterindedir. Aynı karaktere sahip iki sayının toplamı her zaman çift olacağından x^y + z toplamı daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1

(x + y) * (y + z) çarpımının tek sayı olabilmesi için çarpanların teklik-çiftlik durumları belirlenir.

x + y tek sayıdır ve y + z tek sayıdır.

İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her ikisinin de tek sayı olması gerekir.

2

y sayısının tek veya çift olma durumlarına göre x ve z sayılarının teklik-çiftlik durumları analiz edilir.

Durum 1: y tek ise x çift ve z çift olur. Durum 2: y çift ise x tek ve z tek olur. Her iki durumda da x ve z sayıları aynı teklik-çiftlik karakterine sahiptir.

Toplamları tek olan iki sayıdan biri tek ise diğeri çift olmak zorundadır.

3

Öncüller elde edilen durumlara göre tek tek değerlendirilir.

I. öncülde x * z çarpımı x ve z tek olduğunda tek olur. II. öncülde y pozitif tam sayı olduğundan x^y ile x aynı karakterdedir ve x ile z her zaman aynı karakterde olduğundan x^y + z toplamı daima çifttir. III. öncülde x + y + z toplamı y tek olduğunda çift + tek + çift = tek olur.

Teklik ve çiftlik kuralları öncüllere uygulanarak her zaman çift sayı veren ifade belirlenir.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.

Tek ve Çift Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap