Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDikdörtgenler Prizması

Bir kargo firması, ayrıt uzunlukları metre cinsinden birer tam sayı olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kolinin yüzeylerini kaplayacaktır. Kolinin farklı üç yüzünün köşegen uzunlukları sırasıyla d1d_1, d2d_2 ve d3d_3 metredir.

Bu köşegen uzunlukları arasında,
d12+d22=66d_1^2 + d_2^2 = 66
d22+d32=59d_2^2 + d_3^2 = 59
d12+d32=75d_1^2 + d_3^2 = 75

bağıntıları bulunduğuna göre, bu kolinin toplam yüzey alanı kaç metrekaredir?

  1. A
    47
  2. B
    52
  3. 94Cevap
  4. D
    60
  5. E
    76

Cevap

94 metrekare
Doğru olan seçenekteki 94 değeri, prizmanın ayrıt uzunluklarının 3, 4 ve 5 metre olarak doğru belirlenmesi ve yüzey alanı formülü olan 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) ifadesinin hatasız bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kolinin ayrıt uzunluklarını sırasıyla aa, bb ve cc olarak belirleyip Pisagor bağıntısı yardımıyla yüzey köşegenlerinin karelerini yazalım.
d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2, d22=b2+c2d_2^2 = b^2 + c^2 ve d32=a2+c2d_3^2 = a^2 + c^2 bağıntıları elde edilir.
Köşegen uzunlukları ile ayrıt uzunlukları arasında ilişki kurmak için.
2
Elde edilen bu bağıntıları soruda verilen denklemlerde yerlerine yazarak üç bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturalım.
a2+2b2+c2=66a^2 + 2b^2 + c^2 = 66, a2+b2+2c2=59a^2 + b^2 + 2c^2 = 59 ve 2a2+b2+c2=752a^2 + b^2 + c^2 = 75 denklemleri elde edilir.
Ayrıtların karelerini bulmamızı sağlayacak denklem sistemini kurmak için.
3
Oluşturulan üç denklemi taraf tarafa toplayalım.
4a2+4b2+4c2=200  ⟹  a2+b2+c2=504a^2 + 4b^2 + 4c^2 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 eşitliği elde edilir.
Her bir değişkenin değerine ulaşabilmek için ortak bir toplam değeri bulmak.
4
Bulunan a2+b2+c2=50a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamını, ikinci adımdaki denklemlerde tek tek çıkararak her ayrıtın karesini hesaplayalım.
b2=66−50=16b^2 = 66 - 50 = 16, c2=59−50=9c^2 = 59 - 50 = 9 ve a2=75−50=25a^2 = 75 - 50 = 25 bulunur.
Ayrıt uzunluklarının karelerini ayrı ayrı belirlemek için.
5
Ayrıt uzunlukları pozitif tam sayılar olduğundan kareköklerini alalım.
a=5a = 5 metre, b=4b = 4 metre ve c=3c = 3 metre olarak bulunur.
Yüzey alanını hesaplamak için ayrıt uzunluklarının kendilerini elde etmek.
6
Ayrıtları 3, 4 ve 5 metre olan dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanını 2(ab+bc+ac)2(ab + bc + ac) formülü ile hesaplayalım.
S=2(5⋅4+4⋅3+5⋅3)=2(20+12+15)=2⋅47=94S = 2(5 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2(20 + 12 + 15) = 2 \cdot 47 = 94 metrekare bulunur.
Soruda istenen toplam yüzey alanı sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasında yüzey köşegenleri ve Pisagor bağıntısının uygulanması, prizmanın toplam yüzey alanı formülü

Alternatif Yöntem

Verilen denklem sisteminde d12d_1^2, d22d_2^2 ve d32d_3^2 ifadelerinin toplamının 2(a2+b2+c2)2(a^2 + b^2 + c^2) değerine eşit olduğu görülebilir. Buradan 2(a2+b2+c2)=66+59+75=200  ⟹  a2+b2+c2=502(a^2 + b^2 + c^2) = 66 + 59 + 75 = 200 \implies a^2 + b^2 + c^2 = 50 toplamına daha hızlı ulaşılarak ayrıtlar sırasıyla a2=50−(b2+c2)=50−25=25  ⟹  a=5a^2 = 50 - (b^2+c^2) = 50 - 25 = 25 \implies a=5 şeklinde doğrudan belirlenebilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dikdörtgenler Prizması

Bu konudan daha fazla soru