Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Yorumu

Bir ABCABC üçgeninin kenarları üzerinde, köşeler de dahil olmak üzere toplam 99 nokta işaretlenmiştir. Bu noktalardan 44 tanesi ABAB kenarı üzerinde (köşeler dahil), 55 tanesi ise BCBC kenarı üzerinde (köşeler dahil) yer almaktadır.

Buna göre, köşeleri bu 99 noktadan herhangi üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    60
  2. 69Cevap
  3. C
    70
  4. D
    73
  5. E
    84

Cevap

Köşeleri bu 9 noktadan herhangi üçü olan 69 farklı üçgen çizilebilir.
Doğru cevaba ulaşmak için tüm olası 3'lü seçimlerin sayısından ((93)=84\binom{9}{3} = 84), doğrusal oldukları için üçgen oluşturmayan durumlar çıkarılır. Bu durumlar ABAB kenarındaki 4 noktadan seçilen 3 nokta ((43)=4\binom{4}{3} = 4), BCBC kenarındaki 5 noktadan seçilen 3 nokta ((53)=10\binom{5}{3} = 10) ve CACA kenarındaki 3 noktadan seçilen 3 noktadır ((33)=1\binom{3}{3} = 1). Çıkarma işlemi yapıldığında 84−(4+10+1)=6984 - (4 + 10 + 1) = 69 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenarları üzerindeki nokta dağılımlarını ve doğrusal nokta gruplarını belirlemek.
ABAB kenarında 44, BCBC kenarında 55 ve CACA kenarında 33 doğrusal nokta bulunur.
Aynı kenar üzerinde yer alan doğrusal noktaların kendi aralarında üçgen oluşturamayacağını belirlemek için her bir kenardaki nokta sayısını bilmemiz gerekir.
2
Herhangi bir doğrusallık kısıtlaması olmaksızın, toplam 99 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü kombinasyonların sayısını hesaplamak.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı 3'lü grup seçilebilir.
Seçilebilecek tüm olası durumların üst sınırını bulmak için.
3
Aynı kenar (doğru) üzerinde yer alan ve dolayısıyla üçgen oluşturmayan doğrusal 3'lü nokta gruplarının sayısını hesaplayıp toplam durumdan çıkarmak.
Çizilebilecek üçgen sayısı: (93)−((43)+(53)+(33))=84−(4+10+1)=69\binom{9}{3} - \left(\binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{3}{3}\right) = 84 - (4 + 10 + 1) = 69 olarak bulunur.
Doğrusal noktaların üçgen oluşturmayacağı kuralını uygulayarak yalnızca üçgen oluşturan durumları elde etmek için.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

İpuçları

1
Üçgen oluşturabilmek için seçeceğiniz 3 noktanın doğrusal olmaması gerekir.
2
Toplam 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını bulup, aynı kenar üzerinde yer alan (doğrusal olan) 3'lü grupları bundan çıkarın.
3
Toplam durum (93)\binom{9}{3}'tür. ABAB kenarında 4 nokta, BCBC kenarında 5 nokta ve CACA kenarında 3 nokta doğrusaldır. Bu doğrusal grupların kombinasyonlarını ((43)\binom{4}{3}, (53)\binom{5}{3}, (33)\binom{3}{3}) toplam durumdan çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Bir çember üzerinde 6 nokta ve bir doğru üzerinde 4 nokta verildiğinde oluşabilecek üçgen sayısını bulmayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Üçgen oluşturabilecek 3 noktayı farklı kenarlardan seçerek de hesaplayabiliriz. Ancak tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarmak en pratik metottur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru