Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Yorumu

Bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretleniyor.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen en fazla kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    84
  2. 80Cevap
  3. C
    74
  4. D
    70
  5. E
    480

Cevap

Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en fazla 80 farklı üçgen oluşturulabilir.
Üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. Toplam 9 noktadan oluşturulabilecek tüm 3'lü grupların sayısı 84 tanedir. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilecek 3 nokta bir üçgen oluşturmaz. Bu durumların sayısı 4 tanedir. Dolayısıyla, oluşturulabilecek en fazla üçgen sayısı tüm durumlardan doğrusal durumların çıkarılmasıyla 80 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısını ve herhangi bir kısıtlama olmaksızın oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısını hesaplayın.
Toplam nokta sayısı 5+4=95 + 4 = 9 tanedir. Bu 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı: (93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 tanedir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan en fazla (93)\binom{9}{3} farklı üçgen oluşturulabilir.
2
Doğrusal oldukları için üçgen oluşturamayacak nokta gruplarının sayısını belirleyin.
dd doğrusu üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu noktalardan seçilen hiçbir 3'lü grup üçgen belirtmez. Bu durumların sayısı: (43)=4\binom{4}{3} = 4 tanedir.
Aynı doğru üzerindeki noktalar doğrusal olduğundan üçgen oluşturmaz.
3
Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan doğrusal durumları çıkararak sonucu bulun.
84−4=8084 - 4 = 80 farklı üçgen oluşturulabilir.
Ge��erli üçgen sayısı, tüm olası seçimlerden doğrusal olan seçimlerin çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla geometrik şekillerin (üçgen vb.) sayısını bulma ve doğrusallık koşullarını uygulama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak durum analizi yapılabilir: 1) Çemberden 3 nokta seçilmesi: C(5,3) = 10. 2) Çemberden 2, doğrudan 1 nokta seçilmesi: C(5,2) * C(4,1) = 10 * 4 = 40. 3) Çemberden 1, doğrudan 2 nokta seçilmesi: C(5,1) * C(4,2) = 5 * 6 = 30. Toplam: 10 + 40 + 30 = 80.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru