Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Yorumu

Yatay ve dikey doğruların kesişmesiyle oluşan bir ızgara üzerinde, 3 satır ve 4 sütun halinde dizilmiş toplam 12 nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 12 noktadan herhangi üçü olan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    196
  2. 200Cevap
  3. C
    204
  4. D
    208
  5. E
    220

Cevap

Oluşturulabilecek en çok üçgen sayısı 200'dür.
Doğru yanıt 200'dür. Toplam 12 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü nokta kombinasyonlarının sayısı 220'dir. Bu kombinasyonlardan üçgen oluşturmayan doğrusal 3'lü gruplar (12 yatay, 4 dikey, 4 köşegen olmak üzere toplam 20 grup) çıkarıldığında geriye 200 adet üçgen kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı belirlenerek oluşturulabilecek t��m 3'lü kombinasyonlar hesaplanır.
(123)=220\binom{12}{3} = 220 farklı 3'lü nokta grubu seçilebilir.
Herhangi 3 noktanın bir üçgen oluşturabilmesi için öncelikle düzlemdeki tüm 3'lü kombinasyonları bulmamız gerekir.
2
Aynı doğru üzerinde bulunan (doğrusal) ve üçgen oluşturması mümkün olmayan 3'lü nokta grupları belirlenir.
Yatay doğrular üzerinde 3×(43)=123 \times \binom{4}{3} = 12 grup, dikey doğrular üzerinde 4×(33)=44 \times \binom{3}{3} = 4 grup ve köşegenler (çapraz doğrular) üzerinde ise 4 grup olmak üzere toplam 20 doğrusal 3'lü grup bulunur.
Aynı doğru üzerindeki 3 nokta birleştirildiğinde üçgen değil, doğru parças�� oluşur. Bu yüzden bu gruplar toplam durumdan çıkarılmalıdır.
3
Toplam 3'lü grup sayısından doğrusal olan 3'lü grup sayısı çıkarılarak oluşturulabilecek üçgen sayısı bulunur.
220−20=200220 - 20 = 200 farklı üçgen oluşturulabilir.
Üçgen oluşturabilen durumlar, tüm durumlardan üçgen oluşturmayan (doğrusal) durumların çıkarılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyonun Geometrik Yorumu
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru