Examkin

Soru

Zorluk: KolayKombinasyonun Geometrik Yorumu

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta bulunmaktadır.

Buna göre, bu noktaların herhangi ikisinden geçen en çok kaç farklı doğru çizilebilir?

  1. 15Cevap
  2. B
    20
  3. C
    30
  4. D
    12
  5. E
    36

Cevap

Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 farklı nokta ile en çok 15 farklı doğru çizilebilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 66 noktadan en çok kaç doğru geçebileceğini bulmak için bu 66 noktadan kaç farklı 22'li grup seçebileceğimizi hesaplarız. Kombinasyon formülü kullanılarak yapılan (62)=15\binom{6}{2} = 15 hesabı doğru sonuca ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Doğru oluşturmak için gerekli olan nokta sayısını belirleme
Bir doğrunun belirtilmesi için en az 2 farklı nokta gerekmektedir.
Geometrinin temel kabullerine göre, farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.
2
Noktalar arasından yapılacak seçimleri kombinasyon ile hesaplama
66 farklı nokta arasından seçilecek her 2 nokta bize yeni bir doğru verir. Bu seçimlerin sayısı (62)\binom{6}{2} kombinasyon formülü ile hesaplanır:
(62)=6×52×1=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
Noktaların herhangi üçü doğrusal olmadığından, seçilen her 2 nokta farklı bir doğru tanımlar. Sıralama önemsiz olduğu için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan nn nokta ile en çok (n2)\binom{n}{2} farklı doğru çizilebilir.

İpuçları

1
Bir doğru çizebilmek için kaç farklı noktaya ihtiyacınız olduğunu düşünün.
2
Herhangi iki noktadan yalnızca bir doğru geçtiğine göre, 66 nokta arasından kaç farklı 22'li nokta grubu seçebileceğinizi kombinasyon yardımıyla bulun.

Daha Fazla Pratik

Eğer bu noktaların herhangi üçü doğrusal olmasaydı ve köşeleri bu noktalar olan en çok kaç farklı üçgen oluşturulabileceği sorulsaydı, 3'lü kombinasyon hesaplamamız gerekirdi.

Alternatif Yöntem

Noktalardan birini seçelim (6 seçenek). Bu noktayı birleştirebileceğimiz diğer noktaları seçelim (5 seçenek). Toplamda 6×5=306 \times 5 = 30 çizgi elde edilir gibi görünür ancak her doğruyu ikişer kez saymış oluruz (örneğin A'dan B'ye ve B'den A'ya). Çift sayımları engellemek için ikiye böleriz: 30/2=1530 / 2 = 15.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru