Examkin

Soru

Zorluk: ZorTek ve Çift Sayılar
aa, bb ve cc birer pozitif tam sayı olmak üzere,
(ab+1)⋅(b+c)(a^b + 1) \cdot (b + c)
ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

  1. A
    ba+a⋅cb^a + a \cdot c
  2. B
    a⋅b+caa \cdot b + c^a
  3. ac+b⋅ca^c + b \cdot cCevap
  4. D
    cb+a⋅bc^b + a \cdot b
  5. E
    (a+c)b(a + c)^b

Cevap

Daima çift sayı olan ifade ac+b⋅ca^c + b \cdot c ifadesidir.
Verilen çarpımın tek sayı olması için her iki çarpanın da tek olması gerekir. Buradan ab+1a^b + 1 ifadesinin tek, yani aba^b ifadesinin çift olduğu anlaşılır. bb pozitif tam sayı olduğundan aa kesinlikle çift sayıdır. Diğer çarpan olan b+cb + c tek olduğundan, bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri çifttir. ac+b⋅ca^c + b \cdot c ifadesinde, aa çift ve cc pozitif tam sayı olduğundan aca^c daima çifttir. bb ve cc'den en az biri çift olduğundan b⋅cb \cdot c da daima çifttir. İki çift terimin toplamı daima çift sayı sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesinin tek sayı olma durumunu analiz etmek
ab+1a^b + 1 ve b+cb + c ifadelerinin her ikisi de tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
ab+1a^b + 1 ifadesinin teklik durumundan faydalanarak aa değişkeninin karakterini bulmak
aba^b çift sayı olmalıdır. bb pozitif bir tam sayı olduğundan, tabandaki aa sayısı da çift sayı olmak zorundadır.
Tek sayıdan 1 çıkarıldığında çift sayı elde edilir. Pozitif tam sayı kuvvetleri tabanın teklik-çiftlik durumunu değiştirmez.
3
b+cb + c ifadesinin teklik durumundan faydalanarak bb ve cc değişkenlerinin durumlarını belirlemek
bb ve cc sayılarından biri tek, diğeri ise çift sayı olmalıdır. Bu durum iki olası senaryo yaratır: 1) bb çift, cc tek; 2) bb tek, cc çift.
İki tam sayının toplamının tek sayı çıkması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir.
4
Elde edilen durumları ac+b⋅ca^c + b \cdot c seçeneğinde yerine koyarak incelemek
aa çift ve cc pozitif tam sayı olduğundan aca^c terimi daima çift sayıdır. bb ve cc sayılarından biri mutlaka çift olduğundan b⋅cb \cdot c çarpımı da daima çift sayıdır. İki çift sayının toplamı her zaman çift sayı olacağından, bu ifade daima çift sayıdır.
Genel kurallara göre çift sayı ile çift sayının toplamı çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılarda Çarpma, Toplama ve Üs Alma Kuralları
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru