Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir lojistik deposunda bulunan A, B ve C tipi kutuların her birinin ağırlığı sırasıyla aa, bb ve cc kg'dır. Bu ağırlıklar a<b<ca < b < c şartını sağlayan birer pozitif tam sayıdır. Depodaki kutularla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Depodaki tüm kutuların toplam ağırlığı 240240 kg'dır.
* A tipi kutuların toplam sayısı, B tipi kutuların toplam sayısının 2 katıdır.
* B tipi kutuların toplam ağırlığı, C tipi kutuların toplam ağırlığına eşittir.
* Depoda bu üç tip kutudan toplam 15 adet bulunmaktadır.

Buna göre, bir C tipi kutunun ağırlığı en az kaç kg'dır?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. C
    20
  4. 24Cevap
  5. E
    30

Cevap

Bir C tipi kutunun ağırlığı en az 24 kg'dır.
Doğru cevap 24'tür. Kutu adetleri arasındaki ilişkiden 3nB+nC=153n_B + n_C = 15 bağıntısı bulunur. Birim ağırlıklar arasındaki a<b<ca < b < c sıralaması ve nB⋅b=nC⋅cn_B \cdot b = n_C \cdot c eşitliği bir arada değerlendirildiğinde nC<nBn_C < n_B olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek tam sayı çifti nB=4n_B = 4 ve nC=3n_C = 3 olur. Toplam ağırlık denkleminden a+b=30a + b = 30 elde edilir. 4b=3c4b = 3c eşitliğinden dolayı b=3kb = 3k, c=4kc = 4k ve a=30−3ka = 30 - 3k yazılır. a<ba < b koşulundan 30−3k<3k  ⟹  k>530 - 3k < 3k \implies k > 5 elde edilir. cc değerinin en küçük olması için kk'nın en küçük tam sayı değeri olan 6 seçilmelidir. Buradan c=4×6=24c = 4 \times 6 = 24 kg olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kutu sayılarını belirleyen denklemleri yazarak kutu sayılarını bulmak.
A, B ve C tipi kutuların sayıları sırasıyla nAn_A, nBn_B ve nCn_C olsun. Verilenlere göre nA=2nBn_A = 2n_B ve nA+nB+nC=15n_A + n_B + n_C = 15 olur. Buradan 2nB+nB+nC=15  ⟹  3nB+nC=152n_B + n_B + n_C = 15 \implies 3n_B + n_C = 15 elde edilir.
Kutu sayıları arasındaki ilişkiyi tek bir değişkene indirgemek.
2
Kutu sayılarının alabileceği pozitif tam sayı değerlerini analiz etmek ve ağırlık koşulunu kontrol etmek.
3nB+nC=153n_B + n_C = 15 denkleminde nBn_B ve nCn_C pozitif tam sayı olduğundan nBn_B değeri 1,2,3,41, 2, 3, 4 olabilir. B ve C tipi kutuların toplam ağırlıkları eşit olduğundan nB⋅b=nC⋅cn_B \cdot b = n_C \cdot c yazılır. Buradan b=nCnB⋅cb = \frac{n_C}{n_B} \cdot c elde edilir. Soruda b<cb < c olarak verildiğinden nCnB<1  ⟹  nC<nB\frac{n_C}{n_B} < 1 \implies n_C < n_B olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek durum nB=4n_B = 4 ve nC=3n_C = 3 durumudur. Bu durumda nA=8n_A = 8 olur.
Soruda verilen sıralama koşulunu kullanarak olası kutu sayılarını tek bir duruma indirmek.
3
Kutu sayılarını toplam ağırlık denkleminde yerine yazıp ağırlıklar arasındaki bağıntıyı bulmak.
Toplam ağırlık 8a+4b+3c=2408a + 4b + 3c = 240 kg'dır. B ve C tipi kutuların toplam ağırlıkları eşit olduğundan 4b=3c4b = 3c olur. Denklemde 3c3c yerine 4b4b yazarsak 8a+4b+4b=240  ⟹  8a+8b=240  ⟹  a+b=308a + 4b + 4b = 240 \implies 8a + 8b = 240 \implies a + b = 30 elde edilir.
Ağırlıklar arasındaki doğrusal bağıntıyı elde etmek.
4
Tam sayı ve sıralama kısıtlarını uygulayarak C'nin en küçük değerini bulmak.
4b=3c4b = 3c eşitliğinden b=3kb = 3k ve c=4kc = 4k (kk pozitif tam sayı) yazabiliriz. a+b=30  ⟹  a+3k=30  ⟹  a=30−3ka + b = 30 \implies a + 3k = 30 \implies a = 30 - 3k olur. a<b<ca < b < c sıralama kuralına göre: 30−3k<3k  ⟹  30<6k  ⟹  k>530 - 3k < 3k \implies 30 < 6k \implies k > 5 olmalıdır. Ayrıca a>0  ⟹  30−3k>0  ⟹  k<10a > 0 \implies 30 - 3k > 0 \implies k < 10 olmalıdır. Dolayısıyla kk değerleri 6,7,8,96, 7, 8, 9 olabilir. C'nin ağırlığı c=4kc = 4k olduğundan, cc'nin en küçük değeri için kk en küçük seçilmelidir. k=6k = 6 için c=4×6=24c = 4 \times 6 = 24 kg bulunur. (Bu durumda a=12,b=18,c=24a=12, b=18, c=24 olup 12<18<2412 < 18 < 24 şartı sağlanır).
Sıralama ve pozitif tam sayı olma koşullarını kullanarak minimum ağırlığı hesaplamak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde verilen sözel ilişkileri çok değişkenli denklem sistemine dönüştürme ve tam sayı kısıtları altında eşitsizlik analizi yapma.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru