Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatı Cisimler

Tepe noktası aşağıda olacak şekilde konumlandırılmış, taban yarıçapı 10 cm10\text{ cm} ve yüksekliği 15 cm15\text{ cm} olan dik dairesel koni biçimindeki bir kap tamamen suyla doludur. Bu kaptaki suyun bir kısmı, taban yarıçapı 7 cm7\text{ cm} olan yeterince yüksek boş bir dik dairesel silindirin içine boşaltılıyor. Son durumda koni biçimindeki kapta kalan suyun yüksekliği 9 cm9\text{ cm} olduğuna göre, silindir kapta biriken suyun yüksekliği kaç  cm\text{ cm}'dir?

  1. A
    24
  2. B
    12
  3. 8Cevap
  4. D
    2
  5. E
    28

Cevap

Silindir kapta biriken suyun yüksekliği 8 cm'dir.
Doğru cevap olan 8 değeri, koninin toplam hacminin ve benzerlik oranı yardımıyla içinde kalan suyun hacminin doğru hesaplanıp, dökülen su hacminin silindirin hacim formülüne eşitlenmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin toplam hacmini hesaplayalım.
Vtoplam=13π⋅102⋅15=500π cm3V_{toplam} = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 15 = 500\pi\text{ cm}^3
Başlangıçtaki toplam su miktarını bulmak için koninin hacim formülünü uyguluyoruz.
2
Koni içinde kalan suyun hacmini benzerlik oranı kullanarak hesaplayalım.
Vkalan=(915)3⋅500π=(35)3⋅500π=27125⋅500π=108π cm3V_{kalan} = \left(\frac{9}{15}\right)^3 \cdot 500\pi = \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot 500\pi = \frac{27}{125} \cdot 500\pi = 108\pi\text{ cm}^3
Kalan su da tepe noktası aşağıda olan benzer bir koni oluşturur. Hacimler oranı, benzerlik oranının (yükseklikler oranının) küpüne eşittir.
3
Silindire aktarılan dökülen suyun hacmini bulalım.
Vdo¨ku¨len=Vtoplam−Vkalan=500π−108π=392π cm3V_{dökülen} = V_{toplam} - V_{kalan} = 500\pi - 108\pi = 392\pi\text{ cm}^3
Toplam su hacminden kapta kalan su hacmini çıkararak silindire boşaltılan suyun hacmini buluruz.
4
Silindirdeki suyun yüksekliğini (hh) hesaplayalım.
Vsilindir=π⋅r2⋅h⇒392π=π⋅72⋅h⇒49⋅h=392⇒h=8 cmV_{silindir} = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow 392\pi = \pi \cdot 7^2 \cdot h \Rightarrow 49 \cdot h = 392 \Rightarrow h = 8\text{ cm}
Dökülen su hacmini silindirin hacim formülüne eşitleyerek suyun yükselme miktarını buluruz.

Anahtar Kavram

Katı Cisimlerin Hacim İlişkileri ve Benzerlik Oranı
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimler

Bu konudan daha fazla soru