a ve b ardışık tek pozitif tam sayılar, b ve c ise ardışık pozitif tam sayılardır. \text{E… — ALES

a

b

ardışık tek pozitif tam sayılar,

b

c

ise ardışık pozitif tam sayılardır.

\text{EBOB}(a, b) + \text{EKOK}(b, c) - 2 \cdot \text{EKOK}(a, b) = 1

olduğuna göre,

a + b + c

toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Farklı durumlar için elde edilen toplamların toplamı olan 20 sayısıdır.

Doğru cevap olan 20 değeri, ardışık sayıların aralarında asal olma kuralları uygulanarak elde edilen iki farklı çözüm kümesindeki

a+b+c

toplamlarının (14 ve 6) toplamıdır.

Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olma özelliğini belirleme

Ardışık tek sayılar olan

a

b

için

\text{EBOB}(a, b) = 1

\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b

olur. Ardışık sayılar olan

b

c

için ise

\text{EKOK}(b, c) = b \cdot c

olur.

Ardışık tam sayılar ve ardışık tek tam sayılar kendi aralarında daima asaldır ve ortak bölenleri sadece 1'dir.

Elde edilen EBOB ve EKOK ifadelerini ana denklemde yerine yazarak sadeleştirme

1 + b \cdot c - 2 \cdot a \cdot b = 1 \implies b(c - 2a) = 0

elde edilir.

Soruda verilen denklemi çözülebilir bir cebirsel ifadeye dönüştürmek.

b

pozitif bir tam sayı olduğundan

b \neq 0

koşulunu kullanarak sadeleştirilmiş denklemi çözme

c - 2a = 0 \implies c = 2a

olmalıdır.

Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.

a

b

ardışık tek pozitif tam sayılar,

b

c

ardışık pozitif tam sayılar koşullarını test etme

Durum 1:

b = a + 2

için

c

a+3

ya da

a+1

olur. Bunlar sırasıyla

a=3, b=5, c=6

(toplam 14) ve

a=1, b=3, c=2

(toplam 6) çözümlerini verir. Durum 2:

b = a - 2

için pozitif tam sayı çözümü bulunmaz.

Tüm olası sayı çiftlerini ve pozitiflik koşullarını belirlemek.

Bulunan

a + b + c

değerlerini toplama

14 + 6 = 20

bulunur.

Soru bizden alabileceği farklı değerlerin toplamını istemektedir.

Ardışık sayıların ve ardışık tek sayıların aralarında asal olması ve EBOB-EKOK ilişkileri

Soru