Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyonun Geometrik Yorumu

Bir çember üzerinde bulunan 66 farklı nokta ile bu çemberi kesmeyen bir doğru üzerinde bulunan 44 farklı nokta verilmiştir.

Buna göre, köşeleri bu 1010 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    120
  2. 116Cevap
  3. C
    96
  4. D
    24
  5. E
    696

Cevap

En çok 116 farklı üçgen çizilebilir.
Toplam 10 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı olan 120 durumdan, aynı doğru üzerindeki 4 doğrusal noktanın üçgen oluşturamadığı 4 durum çıkarıldığında en çok 116 farklı üçgen çizilebilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tüm nokta sayısını belirlemek ve kısıtlama olmaksızın oluşturulabilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplamak.
Toplam nokta sayısı 6+4=106 + 4 = 10'dur. Herhangi bir kısıtlama olmaksızın bu 1010 noktadan seçilebilecek 3'lü grupların sayısı: (103)=10×9×83×2×1=120\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120'dir.
Üçgen oluşturabilmek için doğrusal olmayan 3 nokta seçilmesi gerektiğinden, başlangı�� noktası olarak tüm olası üçlü seçimleri buluyoruz.
2
Aynı doğru üzerindeki noktaların oluşturduğu ve üçgen belirtmeyen durumların sayısını belirlemek.
Doğru üzerindeki 44 nokta doğrusal olduğundan, bu noktalardan seçilecek 3 nokta bir üçgen oluşturamaz. Bu durumların sayısı: (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür.
Doğrusal noktalar birleştirildiğinde üçgen yerine doğru parçası oluşturduğundan, bu seçimler geçersizdir.
3
Tüm olası durumlardan geçersiz olan durumları çıkararak çizilebilecek üçgen sayısını hesaplamak.
Çizilebilecek maksimum üçgen sayısı: 120−4=116120 - 4 = 116'dır.
Geçerli tüm üçgen durumlarını elde etmek için toplam seçim sayısından doğrusal olanların sayısını çıkarmamız gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla geometrik şekil (üçgen) sayısı hesaplama
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyonun Geometrik Yorumu

Bu konudan daha fazla soru