Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Kenar uzunlukları 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan ABCDABCD dikdörtgeninin dışından, bu dikdörtgene teğet olacak şekilde yerleştirilen 1 cm1\text{ cm} yarıçaplı bir çember, dikdörtgenin çevresi boyunca kaymadan dönerek tam bir tur atıyor. Buna göre, çemberin merkezinin bu tur boyunca aldığı toplam yol kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    28+π28 + \pi
  2. B
    28+π228 + \frac{\pi}{2}
  3. 28+2π28 + 2\piCevap
  4. D
    28+4π28 + 4\pi
  5. E
    14+2π14 + 2\pi

Cevap

Toplam alınan yol 28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}'dir.
Doğru seçenekte belirtilen 28+2π28 + 2\pi değeri, dikdörtgenin çevre uzunluğu (28 cm28\text{ cm}) ile çemberin 4 köşede yaptığı dönüşlerden elde edilen 4 adet çeyrek çember yayının uzunluğunun (2π cm2\pi\text{ cm}) toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dikdörtgenin kenarları boyunca çemberin merkezinin aldığı doğrusal yolu hesaplayın.
2×6+2×8=28 cm2 \times 6 + 2 \times 8 = 28\text{ cm}
Çember dikdörtgenin kenarları boyunca ilerlerken, merkezinin aldığı doğrusal yol dikdörtgenin çevre uzunluğuna eşit olur.
2
Çemberin dikdörtgenin köşelerinden dönerken merkezinin aldığı dairesel yolları hesaplayın.
4×(90∘360∘×2π×1)=2π cm4 \times \left(\frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 1\right) = 2\pi\text{ cm}
Her bir köşede çemberin merkezi, köşeyi merkez kabul eden 90∘90^\circ'lik bir çeyrek yay çizer. 4 köşe olduğu için toplamda 1 tam çember çevresi kadar yol alınır.
3
Doğrusal ve dairesel yolları toplayarak toplam yolu bulun.
28+2π cm28 + 2\pi\text{ cm}
Toplam yol, doğrusal ilerleme mesafesi ile köşe dönüşlerindeki yay uzunluklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bir çemberin bir çokgen etrafında dönmesiyle merkezinin aldığı yol, çokgenin çevresi ile köşelerdeki dönüş yaylarının toplamına eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Bu konudan daha fazla soru