Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

OO merkezli ve RR yarıçaplı çeyrek daire dilimi şeklindeki bir ahşap levhanın içerisine; levhanın dik yarıçap kenarlar��na ve çeyrek çember yayına teğet olacak biçimde yerleştirilebilecek en büyük çemberin yarıçapı rr'dir. Buna göre, içteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2−1\sqrt{2} - 1
  2. B
    22−22\sqrt{2} - 2
  3. C
    12−8212 - 8\sqrt{2}
  4. 42−44\sqrt{2} - 4Cevap
  5. E
    23−22\sqrt{3} - 2

Cevap

İçteki çemberin çevre uzunluğunun levhanın çeyrek yay uzunluğuna oranı 42−44\sqrt{2} - 4 olmalıdır.
Doğru cevap olan ifade, çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki çemberin yarıçapı arasındaki geometrik ilişkiden elde edilen orandır. Köşegen uzunluğu r2r\sqrt{2} olan karenin köşesine rr kadar yarıçap eklendiğinde çeyrek dairenin yarıçapı R=r(2+1)R = r(\sqrt{2} + 1) olur. Çevrelerin oranı hesaplandığında 42−44\sqrt{2} - 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Çeyrek dairenin merkezini OO, içteki çemberin merkezini MM ve teğet noktalarını [OA][OA] üzerinde T1T_1, [OB][OB] üzerinde T2T_2 olarak belirleyip OT1MT2OT_1MT_2 karesini oluşturmak.
Bir kenarı rr olan OT1MT2OT_1MT_2 karesi elde edilir.
İçteki çemberin yarıçapı ile çeyrek dairenin dik kenarları arasındaki geometrik ilişkiyi kurmak.
2
Karenin köşegeni olan [OM][OM] uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla hesaplamak.
OM=r2OM = r\sqrt{2} olarak bulunur.
Merkezler arasındaki uzaklığı yarıçap cinsinden ifade etmek.
3
İçteki çemberin dış yaya teğet olduğu noktayı PP olarak adlandırıp, OO, MM ve PP noktalarının doğrusallığını kullanarak çeyrek dairenin yarıçapı RR'yi rr cinsinden yazmak.
OP=R=OM+MP=r2+r=r(2+1)OP = R = OM + MP = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1) denklemi elde edilir.
İki dairenin yarıçapları arasındaki bağıntıyı kurmak.
4
İçteki çemberin çevre uzunluğunu (C\c1=2πrÇ_1 = 2\pi r) ve çeyrek dairenin yay uzunluğunu (Yay=2πR4=πR2Yay = \frac{2\pi R}{4} = \frac{\pi R}{2}) formüllerini yazıp oranlamak.
Oran =2πrπR2=4rR=4rr(2+1)=42+1= \frac{2\pi r}{\frac{\pi R}{2}} = \frac{4r}{R} = \frac{4r}{r(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{\sqrt{2} + 1} bulunur.
İstenen çevre uzunlukları oranını bulmak.
5
Elde edilen oranı paydanın eşleniği (2−1\sqrt{2} - 1) ile çarparak rasyonel hale getirmek.
4(2−1)2−1=42−4\frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 4\sqrt{2} - 4 bulunur.
Sonucu en sade ve seçeneklerdeki biçimiyle elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir çemberin çevresi 2πr2\pi r ve bir daire diliminin yay uzunluğu α360⋅2πR\frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi R formülüyle hesaplanır. İki geometrik şekil arasındaki teğetlik durumunda merkezlerin birleştirilmesiyle elde edilen doğrusal hatlar yarıçap ilişkisini kurmamızı sağlar.
Bu soruyu puanla

Konular

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Bu konudan daha fazla soru