Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Bir saat kadranında, yelkovanın uzunluğu akrebin uzunluğunun 22 katıdır. Saat 12.0012.00'den 12.3012.30'a kadar geçen sürede, yelkovanın ucunun aldığı yol akrebin ucunun aldığı yolun kaç katıdır?

  1. A
    12
  2. B
    18
  3. 24Cevap
  4. D
    36
  5. E
    48

Cevap

Yelkovanın ucunun aldığı yol, akrebin ucunun aldığı yolun 24 katıdır.
Yelkovanın uzunluğu 2r2r, akrebin uzunluğu rr olsun. 30 dakikalık sürede yelkovan 180∘180^\circ (yarım tur) dönerek 2π(2r)×180360=2πr2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r kadar yol alır. Aynı sürede akrep 15∘15^\circ dönerek 2πr×15360=πr122\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12} kadar yol alır. Yelkovanın aldığı yol akrebin aldığı yolun 2πrπr12=24\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24 katıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Akrebin ve yelkovanın yarıçap (uzunluk) ilişkisini belirleyelim.
Akrebin uzunluğu rr ise yelkovanın uzunluğu 2r2r olur.
Soruda yelkovanın uzunluğunun akrebin uzunluğunun 2 katı olduğu verilmiştir.
2
12.00 ile 12.30 aras��ndaki 30 dakikalık sürede akrep ve yelkovanın taradığı merkez açıları bulalım.
Yelkovan 180∘180^\circ, akrep ise 15∘15^\circ döner.
Yelkovan 60 dakikada tam tur (360∘360^\circ) dönerken 30 dakikada yarım tur (180∘180^\circ) döner. Akrep ise 12 saatte (720720 dakikada) 360∘360^\circ dönerken 30 dakikada 30720×360∘=15∘\frac{30}{720} \times 360^\circ = 15^\circ d��ner.
3
Her iki ibrenin uç noktasının aldığı yay uzunluğunu (yolu) hesaplayalım.
Yelkovanın aldığı yol: 2π(2r)×180360=2πr2\pi(2r) \times \frac{180}{360} = 2\pi r. Akrebin aldığı yol: 2πr×15360=πr122\pi r \times \frac{15}{360} = \frac{\pi r}{12}.
Merkez açısı α\alpha olan bir çember yayının uzunluğu 2πr×α3602\pi r \times \frac{\alpha}{360} formülüyle bulunur.
4
Yelkovanın ucunun aldığı yolun akrebin ucunun aldığı yola oranını bulalım.
2πrπr12=24\frac{2\pi r}{\frac{\pi r}{12}} = 24.
Yelkovanın aldığı yolu akrebin aldığı yola bölerek kat ilişkisini buluruz.

Anahtar Kavram

Çemberde yay uzunluğu formülü (2πr×α3602\pi r \times \frac{\alpha}{360}) ve saat kadranı üzerinde zaman-açı ilişkisinin belirlenmesi.

İpuçları

1
Akrep ve yelkovanın uzunluklarını sırasıyla rr ve 2r2r olarak belirleyin.
2
30 dakikada yelkovanın yarım tur (180∘180^\circ) döndüğünü, akrebin ise bir saatte 30∘30^\circ döndüğü bilgisinden yararlanarak yarım saatte kaç derece döndüğünü bulun.
3
Yelkovan için yarıçapı 2r2r ve açıyı 180∘180^\circ, akrep için yarıçapı rr ve açıyı 15∘15^\circ alarak 2πR×α3602\pi R \times \frac{\alpha}{360} formülüyle yolları hesaplayıp oranlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı ibrelerin 12.00'den 12.20'ye kadar geçen sürede uçlarının aldığı yolların oranını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Dairesel hareketlerde çizgisel hız formülü v=ω⋅Rv = \omega \cdot R kullanılabilir. Yelkovanın açısal hızı akrebin açısal hızının 12 katıdır (aynı sürede 12 kat daha fazla açı tarar). Yelkovanın yarıçapı da akrebin yarıçapının 2 katı olduğuna göre, çizgisel hızları (ve dolayısıyla aynı sürede aldıkları yolların) oranı 12×2=2412 \times 2 = 24 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluğu

Bu konudan daha fazla soru