Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAralarında Asal Sayılar

xx ve yy aralarında asal pozitif tam sayılardır.

EBOB(x,y)=1\text{EBOB}(x, y) = 1 olduğu bilindiğine göre, ardışık iki tek sayı olan xx ve yy için
3x+2y=693x + 2y = 69
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu sayıların en küçük ortak katı olan EKOK(x,y)\text{EKOK}(x, y) değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    65
  3. C
    143
  4. 195Cevap
  5. E
    390

Cevap

195
Verilen denklem çözüldüğünde elde edilen ardışık tek sayılar 13 ve 15'tir. Bu sayılar ortak bir asal bölene sahip olmadıkları için aralarında asaldır ve en büyük ortak bölenleri (EBOB) 1'dir. Aralarında asal olan iki sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların çarpımına eşit olduğundan, aranan değer 13 ile 15'in çarpımı olan 195 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık iki tek sayı olan xx ve yy arasındaki ilişkiyi yazma
y=x+2y = x + 2 veya x=y+2x = y + 2
Ardışık tek sayılar arasındaki fark her zaman 2'dir.
2
y=x+2y = x + 2 durumunu verilen denklemde yerine yazıp çözme
3x+2(x+2)=69  ⟹  5x+4=69  ⟹  5x=65  ⟹  x=133x + 2(x + 2) = 69 \implies 5x + 4 = 69 \implies 5x = 65 \implies x = 13. Buradan y=15y = 15 bulunur.
xx ve yy pozitif tam sayı değerlerini bulmak için denklem çözülür.
3
x=y+2x = y + 2 durumunu kontrol etme
3(y+2)+2y=69  ⟹  5y+6=69  ⟹  5y=633(y + 2) + 2y = 69 \implies 5y + 6 = 69 \implies 5y = 63. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur.
Olası diğer ardışıklık durumunun geçerliliği test edilir.
4
Bulunan x=13x = 13 ve y=15y = 15 sayılarının aralarında asal olup olmadığını denetleme
13 ve 15 sayılarının 1 dışında ortak böleni yoktur, yani EBOB(13,15)=1\text{EBOB}(13, 15) = 1 şartı sağlanır.
Soruda verilen aralarında asal olma ve EBOB koşullarının doğrulanması gerekir.
5
Sayıların en küçük ortak katını (EKOK) hesaplama
EKOK(13,15)=13×15=195\text{EKOK}(13, 15) = 13 \times 15 = 195
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Aralarında asal iki sayının en büyük ortak böleni 1'e, en küçük ortak katı ise bu sayıların çarpımına eşittir. Kendileri asal olmayan sayılar da aralarında asal olabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru