n bir pozitif tam sayı olmak üzere, \frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{13}{11}\neşitliği veriliyor. Buna göre, n değeri kaçtır?

n bir pozitif tam sayı olmak üzere, \frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \f… — ALES

n

bir pozitif tam sayı olmak üzere,

\frac{(n+2)! + (n+1)! + n!}{(n+2)! - (n+1)! - n!} = \frac{13}{11}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $n$ değeri kaçtır?

Cevap: 11

Doğru cevap 11'dir.

Verilen rasyonel ifadenin payı

n! \cdot (n+2)^2

ve paydası

n! \cdot n(n+2)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki ortak terimler olan

n!

(n+2)

sadeleştirildiğinde geriye

\frac{n+2}{n}

kalır. Bu oran

\frac{13}{11}

değerine eşitlenip içler dışlar çarpımı yapıldığında

11n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11

olarak hesaplanır.

Pay kısmındaki faktöriyelli terimleri en küçük terim olan

n!

cinsinden yazarak ortak paranteze alın.

(n+2)! + (n+1)! + n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) + (n+1) + 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 + n + 1 + 1] = n! \cdot (n^2 + 4n + 4) = n! \cdot (n+2)^2

İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak amacıyla ortak paranteze alma yöntemi uygulanır.

Payda kısmındaki faktöriyelli terimleri de aynı şekilde

n!

ortak parantezine alarak düzenleyin.

(n+2)! - (n+1)! - n! = n! \cdot [(n+2)(n+1) - (n+1) - 1] = n! \cdot [n^2 + 3n + 2 - n - 1 - 1] = n! \cdot (n^2 + 2n) = n! \cdot n(n+2)

Pay ile payda arasındaki ortak çarpanları sadeleştirebilmek için payda da çarpanlarına ayrılır.

Elde edilen pay ve payda ifadelerini kesirde yerine yazıp ortak çarpanları sadeleştirin.

\frac{n! \cdot (n+2)^2}{n! \cdot n(n+2)} = \frac{n+2}{n}

Pay ve paydadaki

n!

ve birer adet

(n+2)

çarpanı sadeleşerek ifadeyi en basit haline getirir.

Sadeleşmiş ifadeyi verilen orana eşitleyip içler dışlar çarpımı yardımıyla

n

değerini bulun.

\frac{n+2}{n} = \frac{13}{11} \implies 11(n+2) = 13n \implies 11n + 22 = 13n \implies 2n = 22 \implies n = 11

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözerek bilinmeyeni yalnız bırakmak gerekir.

Faktöriyel ifadelerinde ortak paranteze alma ve sadeleştirme yönteminin kullanılması.