Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Sayılar
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı aa, bb ve cc sayıları için
a⋅b+ca \cdot b + c
ifadesinin bir tek sayı,
a+b⋅ca + b \cdot c
ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

  1. A
    (a+1)⋅(b+c)(a + 1) \cdot (b + c)
  2. B
    a+b+ca + b + c
  3. ab+baa^b + b^aCevap
  4. D
    ac+ca^c + c
  5. E
    b⋅c+cb \cdot c + c

Cevap

Tabanı çift ve üssü pozitif olan üslü ifadelerin toplamı olan ifade her zaman çifttir.
Duyarlılıkla elde edilen aa çift, bb çift ve cc tek değerleri için, doğru seçenekteki ab+baa^b + b^a ifadesinde her iki terim de pozitif çift tam sayıların kuvvetleri olduğundan çifttir. İki çift sayının toplamı da her zaman çift bir sayı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeleri analiz etmek için aa sayısının tek veya çift olma durumlarını inceleyelim.
aa çift sayı ise, a⋅ba \cdot b çift olur. Bu durumda a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için cc tek sayı olmalıdır.
Çift bir sayı ile bir tam sayının çarpımı her zaman çifttir ve çift sayı ile tek sayının toplamı tektir.
2
aa çift ve cc tek olduğunda ikinci ifadeyi kontrol edelim.
a+b⋅ca + b \cdot c ifadesinde aa çift olduğundan, ifadenin çift olabilmesi için b⋅cb \cdot c çift olmalıdır. cc tek olduğundan, bb çift sayı olmalıdır. Bu durumda tutarlı bir biçimde aa çift, bb çift ve cc tek olarak bulunur.
Çift sayı ile çift sayının toplamı çifttir. Tek bir sayı ile çift sayının çarpımı çifttir.
3
aa sayısının tek olma durumunu inceleyip çelişki olup olmadığını görelim.
aa tek ise, a⋅b+ca \cdot b + c ifadesinin tek olması için b+cb + c tek olmalıdır (biri tek, diğeri çift). İkinci ifadede a+b⋅ca + b \cdot c çift ise, b⋅cb \cdot c tek olmalıdır, yani hem bb hem cc tek olmalıdır. Ancak hem bb hem cc tek olursa b+cb + c çift olur ve bu durum çelişki yaratır. Dolayısıyla aa tek olamaz.
İki tek sayının toplamı çift olmalıdır, bu da b+cb+c ifadesinin tek olması gerektiği bilgisiyle çelişir.
4
Bulunan aa çift, bb çift ve cc tek paritelerini kullanarak seçenekleri değerlendirelim.
Seçeneklerdeki ab+baa^b + b^a ifadesinde aa ve bb pozitif çift sayılar olduğundan, aba^b ve bab^a ifadeleri de çifttir. İki çift sayının toplamı da çift olacağından bu ifade her zaman çifttir.
Tabanı çift olan pozitif tam sayı kuvvetleri her zaman çifttir ve iki çift sayının toplamı çifttir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Sayılar

Bu konudan daha fazla soru