Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDikdörtgenler Prizması

Ayrıt uzunlukları birbirinden farklı pozitif tam sayılar olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, sayısal olarak toplam yüzey alanına eşittir. Bu prizmanın cisim köşegeninin uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    36
  2. 288Cevap
  3. C
    400
  4. D
    450
  5. E
    576

Cevap

Prizmanın hacminin alabileceği en küçük değer 288'dir.
Verilen koşullara uyan ve cisim köşegeni tam sayı olan iki farklı prizma mevcuttur. Bunlardan ilki 4,5,204, 5, 20 boyutlarında olup hacmi 400400 birimküptür. İkincisi ise 4,6,124, 6, 12 boyutlarında olup hacmi 288288 birimküptür. Bu değerler arasından en küçüğü olan 288288 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Prizman��n ayrıt uzunluklarına aa, bb ve cc diyelim (a<b<ca < b < c). Soruda verilen hacmin yüzey alanına sayısal eşitliğini denklem haline getirelim.
a⋅b⋅c=2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)a \cdot b \cdot c = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) elde edilir.
Hacim formülü V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c ve yüzey alanı formülü A=2(a⋅b+b⋅c+c⋅a)A = 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) olduğu için.
2
Denklemin her iki tarafını a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c ifadesine bölerek sadeleştirelim.
1a+1b+1c=12\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} denklemi elde edilir.
Tam sayı çözümlerini daha kolay sınırlandırmak ve analiz etmek için.
3
a<b<ca < b < c sıralaması altında denklemi sağlayan pozitif tam sayı üçlülerini belirleyelim.
a≥3a \geq 3 olmalıdır. Bu koşullara uygun tüm (a,b,c)(a, b, c) üçlüleri: {3,7,42}\{3, 7, 42\}, {3,8,24}\{3, 8, 24\}, {3,9,18}\{3, 9, 18\}, {3,10,15}\{3, 10, 15\}, {4,5,20}\{4, 5, 20\} ve {4,6,12}\{4, 6, 12\} olarak bulunur.
Sınırlı sayıdaki Diophantus denklemi çözümlerini bulmak için.
4
Aday üçlülerin her biri için cisim köşegeninin uzunluğunu (d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}) hesaplayarak tam sayı olup olmadıklarını inceleyelim.
42+52+202=441=21\sqrt{4^2 + 5^2 + 20^2} = \sqrt{441} = 21 (tam sayı) ve 42+62+122=196=14\sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{196} = 14 (tam sayı) bulunur. Diğer durumlar tam sayı sonuç vermez.
Cisim köşegeninin uzunluğunun bir tam sayı olması koşulunu test etmek için.
5
Koşulları sağlayan iki prizmanın hacimlerini karşılaştırarak en küçük olanını seçelim.
Boyutları 4,5,204, 5, 20 olan prizmanın hacmi 4×5×20=4004 \times 5 \times 20 = 400, boyutları 4,6,124, 6, 12 olan prizmanın hacmi ise 4×6×12=2884 \times 6 \times 12 = 288 birimküptür. En küçük hacim 288288 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük hacim değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Dikdörtgenler prizmasının hacmi, yüzey alanı ve cisim köşegeni bağıntılarının sayı teorisi ile sentezi
Bu soruyu puanla

Konular

Dikdörtgenler Prizması

Bu konudan daha fazla soru