Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı ve Şekil Örüntüleri

Bir sayı örüntüsünün terimleri a1,a2,a3,…,an,…a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots şeklinde sıralanmaktadır. Bu örüntünün ilk iki terimi

a1=1a_1 = 1

a2=3a_2 = 3

olarak verilmiştir. Sonraki terimler ise her n≥3n \geq 3 için,

* nn tek sayı ise an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
* nn çift sayı ise an=an−1−an−2a_n = a_{n-1} - a_{n-2}

kurallarına göre belirlenmektedir.

Buna göre, bu örüntünün 22. terimi (a22a_{22}) kaçtır?

  1. A
    97
  2. B
    144
  3. 157Cevap
  4. D
    254
  5. E
    377

Cevap

Örüntünün 22. terimi 157'dir.
Doğru cevap olan 157 sayısı, örüntünün kuralları gereği a22=a19a_{22} = a_{19} eşitliğinden ve tek indisli terimlerin kendi arasındaki Fibonacci benzeri toplam ilişkisinden yararlanılarak doğru adımlarla hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örüntünün ilk birkaç terimini verilen kurallara göre yazalım.
a1=1a_1 = 1, a2=3a_2 = 3, a3=3+1=4a_3 = 3+1 = 4, a4=4−3=1a_4 = 4-3 = 1, a5=1+4=5a_5 = 1+4 = 5, a6=5−1=4a_6 = 5-1 = 4, a7=4+5=9a_7 = 4+5 = 9, a8=9−4=5a_8 = 9-4 = 5, a9=5+9=14a_9 = 5+9 = 14, a10=14−5=9a_{10} = 14-5 = 9
Örüntünün terimleri arasındaki genel ilişkiyi ve kuralları gözlemlemek için ilk terimleri listeliyoruz.
2
Çift indisli terimler ile tek indisli terimler arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak ifade edelim.
a2m=a2m−1−a2m−2a_{2m} = a_{2m-1} - a_{2m-2} ve a2m−1=a2m−2+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3} eşitliklerini birleştirdiğimizde, a2m=(a2m−2+a2m−3)−a2m−2=a2m−3a_{2m} = (a_{2m-2} + a_{2m-3}) - a_{2m-2} = a_{2m-3} elde edilir.
Bu eşitlik, çift indisli terimlerin hesaplanmasını kolaylaştırarak bizi doğrudan daha küçük indisli bir tek terime ulaştırır.
3
Elde edilen ilişkiyi 22. terim (a22a_{22}) için uygulayalım.
2m=22  ⟹  m=112m = 22 \implies m = 11 olur. Buradan a22=a2(11)−3=a19a_{22} = a_{2(11)-3} = a_{19} elde edilir.
22. terimi bulmak yerine örüntüdeki 19. terimi bulmanın yeterli olduğunu saptıyoruz.
4
Tek indisli terimlerin kendi arasındaki örüntüyü inceleyelim ve a19a_{19} terimini hesaplayalım.
Tek indisli terimler için a2m−1=a2m−2+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-2} + a_{2m-3} kuralı geçerlidir. a2m−2=a2m−5a_{2m-2} = a_{2m-5} olduğundan, a2m−1=a2m−5+a2m−3a_{2m-1} = a_{2m-5} + a_{2m-3} olur. Tek indisli terimleri sıralarsak:

* a1=1a_1 = 1
* a3=4a_3 = 4
* a5=1+4=5a_5 = 1 + 4 = 5
* a7=4+5=9a_7 = 4 + 5 = 9
* a9=5+9=14a_9 = 5 + 9 = 14
* a11=9+14=23a_{11} = 9 + 14 = 23
* a13=14+23=37a_{13} = 14 + 23 = 37
* a15=23+37=60a_{15} = 23 + 37 = 60
* a17=37+60=97a_{17} = 37 + 60 = 97
* a19=60+97=157a_{19} = 60 + 97 = 157 buluruz.
Tek indisli terimlerin her birinin, kendisinden önceki iki tek indisli terimin toplamına eşit olduğunu görerek a19a_{19} değerini kolayca buluruz.

Anahtar Kavram

Sayı dizilerinde pariteye (tek/çift olma durumuna) göre değişen kuralların analizi ve indirgeme formüllerinin kullanımı.

İpuçları

1
İlk 10 terimi yazarak çift terimlerin (a4,a6,a8,a10a_4, a_6, a_8, a_{10}) kendilerinden önceki terimlerle nasıl bir ilişkisi olduğunu inceleyin.
2
Her çift indisli terim için a2m=a2m−3a_{2m} = a_{2m-3} eşitliğinin sağlandığını görebilirsiniz. Bu durumda a22a_{22} terimini bulmak için hangi tek terimi bulmanız gerekir?
3
a22=a19a_{22} = a_{19} olduğunu saptadıktan sonra, tek indisli terimlerin (a1,a3,a5,a7,…a_1, a_3, a_5, a_7, \dots) kendi aralarında a2m−1=a2m−3+a2m−5a_{2m-1} = a_{2m-3} + a_{2m-5} kuralına göre ilerlediğini fark edin. Bu dizilim 1,4,5,9,14,…1, 4, 5, 9, 14, \dots şeklindedir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, tek terimlerin çıkarma, çift terimlerin çarpma olduğu veya pariteye göre modüler aritmetik içeren örüntü sorularını çözerek hız kazanabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, herhangi bir kısayol görmeden a1a_1'den başlayarak her adımda nn değerinin tek veya çift olmasına göre toplama ve çıkarma işlemlerini sırasıyla 22. adıma kadar hatasız bir şekilde manuel olarak yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru