Taban yarıçapı 6\text{ cm} ve yüksekliği 8\text{ cm} olan dik dairesel koni biçimindeki bo… — ALES

Taban yarıçapı $6\text{ cm}$ ve yüksekliği $8\text{ cm}$ olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine; koninin tabanına ve yan yüzeyine teğet olacak şekilde bir küre yerleştiriliyor.

Buna göre, koninin içinde kürenin dışında kalan boş bölgenin hacminin, kürenin hacmine oranı kaçtır?

$\frac{5}{3}$ Cevap
B
$\frac{8}{3}$
C
$\frac{3}{5}$
D
$7$
E
$\frac{3}{8}$

Cevap

Boş bölgenin hacminin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Koni içine yerleştirilen teğet kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çember yarıçapına eşittir ve benzerlikten

3\text{ cm}

olarak hesaplanır. Koninin hacmi

96\pi\text{ cm}^3

, kürenin hacmi

36\pi\text{ cm}^3

ve boş bölgenin hacmi

60\pi\text{ cm}^3

olduğundan, boş bölgenin kürenin hacmine oranı beş bölü üç olur.

Adım Adım Çözüm

Koninin taban yarıçapı (

R = 6\text{ cm}

) ve yüksekliği (

H = 8\text{ cm}

) kullanılarak toplam hacmi hesaplanır.

V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3

Kürenin dışında kalan boş bölgenin hacmini bulmak için öncelikle koninin toplam hacmi bilinmelidir.

Koninin tepe noktasından geçen dikey kesit düzlemi çizilerek koninin ana doğrusunun (

L

) uzunluğu hesaplanır.

L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}

Kürenin yarıçapını hesaplamak için kesit üçgeninin kenar uzunluklar��na ihtiyaç duyulur.

Kesit düzleminde oluşan ikizkenar üçgenin (tabanı

12\text{ cm}

, yan kenarları

10\text{ cm}

) iç teğet çemberinin yarıçapı (

r

) benzerlik veya alan bağıntısı (

Alan = u \cdot r

) kullanılarak bulunur.

Üçgenin alanı

A = \frac{12 \cdot 8}{2} = 48\text{ cm}^2

ve yarı çevre

u = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\text{ cm}

olduğundan,

r = \frac{48}{16} = 3\text{ cm}

bulunur.

Kürenin yarıçapı, koninin dikey kesitindeki ikizkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına eşittir.

Yarıçapı

r = 3\text{ cm}

olan kürenin hacmi hesaplanır.

V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (3^3) = 36\pi\text{ cm}^3

Kürenin hacmi, oran hesabında kullanılacaktır.

Koninin hacminden kürenin hacmi çıkarılarak boş bölgenin hacmi bulunur.

V_{\text{boş}} = V_{\text{koni}} - V_{\text{küre}} = 96\pi - 36\pi = 60\pi\text{ cm}^3

Soruda istenen oran boş bölgenin hacmini temel almaktadır.

Bulunan boş bölge hacmi, kürenin hacmine oranlanır.

Oran =

\frac{V_{\text{boş}}}{V_{\text{küre}}} = \frac{60\pi}{36\pi} = \frac{5}{3}

İstenen nihai sonuca ulaşmak için oranlama yapılır.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koni ve kürenin hacim formülleri ile 3D katı cisimlerin kesit alanlarındaki geometrik benzerlikler ve iç teğet çember özellikleri.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru